CHAPITRE m. — ESPACES EUCLiniENS A TROIS DIMENSIONS
s'introduisent ainsi naturellement si l'on part de l'équation
travail = (force) x (déplacement) (multiplication scalaire) (^).
64. Exemples de tenseurs du deuxième ordre. — Produit vectoriel. — Soient deux vecteurs de même origine, de composantes contre variantes \^ et Tj^, on en déduit par la formule
un tenseur symétrique gauche qui s'appellera le produit vectoriel du premier vecteur par le second (-).
Dans l'espace à trois dimensions, un tenseur s^'métrique gauche du deuxième ordre n'a que trois composantes distinctes non nulles. En Mécanique classique, on a pris l'habitude de représenter ce produit vectoriel par un vecteur, mais cela n'aurait pas été possible dans un espace à un nombre différent de dimensions, le nombre de composantes distinctes non nulles d'un tenseur symétrique gauche ne coïncidant plus avec le nombre des composantes d'un vecteur (^).
En étudiant d'un peu plus près cette assimilation, nous allons montrer qu'elle n'est même possible qu'en coordonnées cartésiennes rectangulaires. Supposons que nous n'utilisions en effet que des axes rectangulaires de même sens. Si l'on appelle Ç* les composantes contrevariantes d'un vecteur arbitraire, le déterminant
(') Naturellement, les vecteurs vitesse, accélération, quantité de mouvement ont aussi des composantes covariantes, mais leur signification physique ne s'impose pas immédiatement comme c'est le cas pour la force.
(^) Nous avons dortné au n" 61 une interprétation des tenseurs de cette nature à l'aide de la notion d'élément linéaire à deux dimensions.
(^) C'est déjà par suite de cette particularité que le moment d'un vecteur par rapport à un point (qui est un cas particulier de produit vectoriel) est représenté, par un vecteur dans la mécanique de l'espace et seulement par un nombre algébrique dans la mécanique du plan.
On trouve encore une conséquence de cette différence de nature dans la distinction qu'on est conduit à introduire en Physique entre vecteurs polaires et vecteurs axiaux^ ces derniers étant en réalité des tenseurs du second ordre symétriques gauches {v. t. 1, p. ^6).
<S4 CALCUL TENSORIEL APPLICATIONS GÉOiVIËTlUQUES ET MÉCANIQUES.
représente le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs (Ç), (y,), (î^), et est par suite invariant par rapport à tout chanoement de coordonnées rectangulaires. Or ce déterminant s'écrit
et d'après le critérium décelant le caractère tensoriel (Ghap. II, n" 3o) nous pouvons regarder les trois quantités o-^^, o-^', cr^* comme les trois composantes covariantes d'un tenseur du premier ordre et poser
eS,, a"' =£2.,, (t'2=£..S:. (c = ±i).
En Mécanique classique, on précise le signe par une convention d'orientation convenable et le produit vectoriel se trouve ainsi complètement assimilé à un vecteur.
Cas particuliers du produit i^ectoriel. — En formant le produit vectorieldu vecteur (Oi\I) par le vecteur équipolknt à la quantité de mouvement du point M mené par l'origine, on obtient le tenseur moment cinétique du point M par rapport à O, ajant comme composantes contrevarianles
En additionnant les tenseurs analogues relatifs à plusieurs points on aura le moment cinétique du système formé par ces points.
J?ar un procédé tout à fait semblable, le produit vectoriel s'introduira encore comme moment d'une force {ou d'un système de forces) par rapport à l'origine avec les composantes contrevariantes
(i6) }A=Xix'^—X'^a:^.
Equations de la dynamique du corps solide. — Avec ces notations, les six équations de la dynamique du solide indéformable s'écrivent sous la forme
lit
^^=^^' dt ~ '
