CHAPITRE III. — ESPACES EUCLIDIENS A TDOIS DIMENSIONS

X* représentant l'ensemble des forces extérieures appliquées au corps et L'^ l'ensemble de leurs moments par rapport à l'origine.

Rotation instantanée cV un corps solide autour dUin point fixe. — Nous trouverons dans cette question, que nous traiterons comme les précédentes en axes cartésiens quelconques (ayant leur origine au point fixe), un autre exemple intéressant de tenseur symétrique gauche du deuxième ordre.

Si nous faisons subir au corps solide une rotation infiniment petite autour du point fixe, un quelconque de ses points M, de coordonnées x\ vient en une position voisine M', de coordonnées x^-\-^x^. Si l'on connaissait les éléments de la rotation, le problème se ramènerait à un changement d'axes et les coordonnées de M' s'exprimeraient évidemment par des fonctions linéaires et homoiiènes de celles de M. 11 en est alors de même des accroissements Zx'' qui peuvent s'écrire

(l8) ^xi= £

Or, en coordonnées cartésiennes, les coordonnées x'' du point M représentent les composantes contrevariantes du vecteur (OM) et il ressort de l'équation ci-dessus que les coefficients t\,, sont les composantes mixtes d'un tenseur du deuxième ordre, composantes qui sont naturellement infiniment petites.

Mais les quantités z\f, ne sont pas quelconques, car la transformation passant de M à M' n'est, pas la transformation linéaire homogène la plus générale. 11 faut tenir compte du fait que OM = OM', ce qui se traduit par l'équation

l{,qikxix^) = o, ou encore, les gi^ étant des constantes,

Il est évident que les termes du second groupe répètent ceux du premier et cette condition peut s'écrire /

ou encore, d'après ( iB),

OU enfin

tl.fX'^ JC" = o.

Cette forme quadratique doit être nulle quel que soit le point M, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs des x'", cela entraîne évidemment la condition

e^•.s•-^• e.si= 0,

c'est-à dire que le tenseur infiniment petit e/^ doit être symétrique gauche.

Inversement, on vérifie de suite que si cette condition de symétrie gauche est remplie, non seulement la distance du point M à l'origine, mais encore la distance de deux points quelconques du corps reste invariable pendant la transformation, c'est-à-dire que le tenseur eis caractérise sans aucune ambiguïté la rotation infiniment petite.

En divisant les composantes de ce tenseur par la durée ot de la rotation et en passant à la limite, on définira le tenseur rotation instantanée du solide à l'instante par ses composantes covanantes

&)/.v = ] i m i te -^ {uiis = -— (.o^i).

La vitesse du point M aura alors pour composantes contrevariantes

(19) u' == limite -^r- = loV.-a?''^,

et pour composantes covariantes

(19') Ui=oja.x^

(formules fondamentales de la cinématique du corps solide).

En Mécanique classique, on se sert d'axes rectangulaires et l'on assimile, comme nous l'avons dit plus haut, le tenseur symétrique gauche à un vecteur en posant

l ^32= — 0)93 = p, (■20) ' tWl3 = — W?l=^i

& j 2 1 — — ^ 1 2 — r • Les formules (19') prennent alors la forme classique (en écrivant