CHAPITRE III. — ESPACES EUCLIDIENS A TROIS DIMENSIONS
x^ y, z kla place de x* , x-, x^)
ux= gz — ry, zfg = rx — pz^ uz = py — qx (1).
65. Exemple de tenseur symétrique du second ordre. — Moments d'inertie. — Etant donné un point matériel M, de masse m, nous appellerons inertie de rotation autour de Vorigine le tenseur symétrique dont les composantes contrevariantes sont.
mx' x^.
Pour un système de points ce même tenseur aura pour composantes contrevariantes (21) P'-^ = V mar'a?^'.
66. Mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe. Équations d'Euler. — L'étude du problème classique du mouvement d'un corps solide pivotant autour d'un point fixe va nous fournir une excellente application des méthodes générales du calcul tensoriel.
Nous rapporterons l'espace à un système d'axes /fjcg5 rectilignes quelconques ayant leur origine au point fixe et nous désignerons
par x'' les coordonnées correspondantes.
Les équations du mouvement s'écrivent immédiatement dans ce système sous la forme
àXik
dt -^'"^
avec
"^-ik = V m ( ?</^/, — M^. Xi ) ,
(') Les forrnules (19) sont valables en coordonnées cartésiennes obliques, dans un espace à un nonnbre quelconque de dimensions. Il est alors à remarquer que l'existence d'un axe instantané de rotation (lieu des points du solide dont la vitesse est nulle à l'instant t) est liée à la résolubilité du système d'équations linéaires homogènes
Pour /i = 3, le déterminant du système est nul et il y a des points à vitesse nulle, en dehors de l'origine. Il n'en serait plus de même en général (pour n — l\ par exemple).
88 CALCUL TKNSORIKL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQIES I£T MÉCANIQUES.
Mais, d'autre part, le corps solide pivotant autour du point fixe O sera animé à chaque instant d'une rotation instantanée, caractérisée par un tenseur symétrique gauche (di^ fonction du temps et l'on aura
L'expression de Ai> deviendra alors
X//, = V m ( tu/,. x>' xk — w/,,. a?'" Xi) ^
ou encore
X//t = w/,. I^ — ^kA'i .
Mais les composantes mixtes l'/. du tenseur d'inertie sont des fonctions inconnues du temps puisque le solide se déplace par rapport aux axes lixes. Pour éviter les difficultés qui en résultent, nous introduirons de nouveaux axes de coordonnées liés au corps, nous représenterons par x^ les coordonnées correspondantes et nous transcrirons les équations du mouvement dans ce nouveau système.
Il se présente ici une difficulté intéressante. Les équations du mouvement n'ont en effet la forme tensorielle que pour des changements de variables linéaires à coefficients indépendants du temps; en effet, l'équation
Aif,= rr'-X).lrs
montre de suite que — ^ ne se transforme comme un système covariant que dans les conditions que nous venons de mentionner. Or ici précisément nous voulons passer d'un système fixe à un système mobile, c'est-à-dire envisager des substitutions à coefficients fonctions du temps.
Mais cette difficulté ne se serait pas présentée pour un invariant, car alors, dans le passage d'un système de coordonnées à un autre, il ne s'introduit aucun facteur x'- . Cette remarque nous indique la marche à suivre. Nous ferons choix de deux vecteurs arbitraires, liés aux axes fixes y de composantes contre variantes ç' et r/ et les équations du mouvement se Condenseront dans la suivante
= o, qui devia Otre vérifiée quels que soient les vecteurs ^^ et r\K
