CHAPITRE 111. — ESPACES EUCLIDIENS A TROIS DIMENSIONS. B

Or cette équation s'écrit aussi l)ien, puisque les vecteurs arbi-

traires sont (ixes.

^(?'^^x,,;-!';i^L,,= is

et, en vertu de la remarque faite plus haut, elle se transpose

immédiatement dans le système mobile sous la forme

Naturellement, les composantes c^ et 'f\^ par rapport aux axes mobiles sont des fonctions du temps et, en développant, nous aurons

Or, -— , par exemple, représente la vitesse de Textrémilé du

veclenr ç' lié aux axes fixes; le mouvement de ces derniers par rapport aux axes mobiles est caractérisé à chaque instant par le tenseur rotation instantanée — to/x et l'on a donc, d'après la fin-mule (u)) du n^ (Si,

et de même

L'é(piation du mouvement devient alors

ou encore, en changeant le nom de quelques indices muets.

Cette équation unique est alors équivalente au système d'équations

go CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

Il suffît de donner aux indices i et k des valeurs différentes, en se limitant à / <^ /r, car le premier membre ne fait que changer de signe si l'on y permute i et k. On obtient ainsi les trois équations du mouvement du corps solide.

On peut transformer un peu ces équations en j remplaçant Xif; par sa valeur explicite

lu,— ^ùi,^'|.— <Jikr^^ \c\ les composantes du tenseur d'inertie sont des constantes et l'on obtient

Or les deux termes

— a>„- wj*/. I a et -+- LOkr w V p

s'écrivent encore

— w/,.ti)aA-l et -f- a>/,,.wp/l ^y

et par suite se détruisent en vertu des propriétés de symétrie droite ou gauclu^ des deux tenseurs lùu^ et 1'^. jNous poserons encore

iv,l;=: r.)a/w'*/f= ,A"^''a»a/œs/c {^'rk esl un tenseur symétrique), et nos équations prendront la forme

On a ainsi un système de trois équations différentielles du premier ordre qui permettront de calculer en fonction du temps et des données initiales les trois composantes distinctes non nulles du tenseur rotation instantanée. Les dérivées des fonctions inconnues y entrent de façon linéaire et les fonctions elles-mêmes sous forme quadratique (par le tenseur (t,/,).

A titre d'exercice, transcrivons-les en axes rectangulaires^ nous allons retrouver les classiques équations d'Euler. Nous choisirons comme axes liés au (îorps les axes principaux d'inertie relatifs au point O.