CHAPITRE IJI. — KSPACES EUCLIDIENS A TROIS DIMENSIONS. 9I

On aura alors

O si i t;6. /k,

V m(^^')2 si i = /r, Nous poserons d'après les notations usuelles

d'autre part, nous avons

IU30 = Wî3= /?,

€t nous poserons de même

L32 = — Lt3 = L,

Prenons par exemple l'équation correspondant à / = 3, /r = 2, elle s'écrira

Il reste à caluler (^32 ; or on a

«'32 = ^** was W.ÇÎ = ^ <"a3 tDai, a

la seule valeur de a donnant des termes non nuls est évidemment

a= I et par suite

W32 = W4 3ioi2 = — qr.

D'où enfin l'équation

qui est bien conforme au résultat que nous avions fait prévoir. 67. Déformation d'un milieu continu. — Nous allons reprendre

9^ CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GKOilÉTlUQUES ET MÉCANIQUES.

rapidement avec les notations tensorielles cette question déjà traitée dans un tome précédent (t. 111, Ghap. XXXll).

Soient X'' les coordonnées cartésiennes rectangulaires par rapport à des axes fixes d'un point P quelconque du milieu à l'état initial; supposons que le milieu se déforme d'une façon continue; après la déformation le point P occupera une nouvelle position P,

de coordonnées x^-{- i'. Les composantes Ç^ du déplacement (PP|) sont en général des fonctions des x'' que nous supposerons continues et dérivables.

Nous allons maintenant étudier comment la déformation modifie une portion très petite du milieu entourant le point P. Considérons donc un point P' de l'état initial très voisin de P et de coordonnées j^'-f- dx^\ après la déformation, ce point viendra en une position P^' dont les coordonnées pourront s'écrire

— . — . -. dï'' — x^ H- dx^ -4- Ç* H — =- dx'\

dx'

en développant par la foi mule de Tajlor les fonctions ^' au point P' et en se bornant aux deux premiers termes.

Lé déplacement (P'P',) peut alors se décomposer en deux autres :

1^ Une translation de composantes |^, affectant de la même façon tout l'entourage immédiat du point P, comme s'il s'agissait d'un corps solide ;

2" Un déplacement supplémentaire de composantes

— . dï'- dx''

Pour étudier les modifications que cette dernière déformation

fait subir au milieu, cherchons comment se modifie la distance PP'.

Nous poserons

ds = PP', ^^1 =P,P',,

et nous aufons par suite

(ds)^= {dx^y ^ { dx^y -\- {dx^y^

{ds,Y==(dx^-^^dxr\^(dx''-\-'^dx'-\ -^{d'i-^-^^d~X>\ '

\ ôx'- j V d.rr ) \ ûx'- ;

CHVPITRE III. — ESPACES EUCLIDIENS A TROIS DIMENSIONS. qJ

Nous ferons de plus X ky pothèse supplémentaire que la déforjnaliofi est in fininient petite^ c" est-à-dire de façon précise que tes fonctions ^^ ainsi que leurs dérivées partielles premières sont des quantités très petites dont on peut négliger les carrés et les produits.

Nous pourrons alors écrire, par soustraction des deux égalités précédentes,

(24) {dsiY—idsy^i\\rs cfx'- dx",

en posant

■^ [ dx^ dx'' J

Les quantités R,., se comportent comme les composantes covariantcs d'un tenseur du second ordre symétrique^ relativement à toute substitution linéaire sur les variables.

Posons de même

(af.) s„=ir!f --€];

2 L dx' dx''\

ces quantités se comporteront dans les mêmes conditions comme les composantes covariantes d'un tenseur du second ordre symétrique gauche et le déplacement U/ pourra s'écrire sous la forme

U/= Hi/.dx' -h Sfr ctx' ,

et par suite se décomposer encore en deux parties

(28) W,= S„.rf'ï'-.

Le déplacement W^ correspond, comme nous l'avons vu plus haut au n** 64, à une rotation infiniment petite affectant aussi l'ensemble du voisinage du point P à la façon d'un corps solide.

Pour étudier la déformation caractérisée par le déplacement \i

(') La place des indices est sans imporlance, puisque nous sommes en coordonnées cartésiennes rectangulaires; nous en profitons pour la déterminer de telle sorte que l'équation (2 '4) présente le caractère tensoriel formel d'uii invariant.

nous remarquerons que la forme quadratique

R,> dx^ dx''

peut, au moyen d'une substitution orthogonale sur les variables, être débarrassée de ses termes rectangles; c'est-à-dire que nous

considérerons un nouveau système cartésien rectangulaire x^ dans

lequel on aura R„,= o si iy^r, et le déplacement V^ aura alors dans ce système les trois composantes

Si nous transportons l'origine de ce dernier système d'axes au

point P, les différentielles dx^ deviendront les coordonnées du

point P' et nous voyons que la déformation \ i se compose de trois dilatations orthogonales dans la direction des nouveaux axes. On appelle une telle déformation une déformation pure et le trièdre trirectangle que nous venons d'attacher au point P est le trièdre principal de la déformation en P. En particulier, si l'on applique la déformation pure à une sphère très petite de centre P, de rayon / et de volume (^, elle se transforme en un petit ellipsoïde dont les demi-axes ont pour longueurs

(i4-fn)/, (1 + ^22)/, (i + fas)^.

Cette quadrique caractérise la déformation pure. Son volume ('« est en général différent de \> et le coefficient de dilatation en P aura pour valeur

0= ^^^-^ = (i + ÏÏn)(n-ÏÏ2,)(i-4-f33)-i,

ou encore, en s'en tenant à l'approximation exigée jusqu'à présent,

e=ÏÏn-+-ÏÏ22-^ï^33.

Dans le système des coordonnées primitives, l'invariant 9 aura