CHAPITRE m. — ESPACES EUCLIOIENS A TROIS DIMENSIONS. gS
pour valeur
(30) e=Rii+R22 -4-133 (*),
OU encore
d^i dx^ dx^
En appelant p et p| les valeurs de la densité au point P avant et après la déformation, la condition d'égalité des masses de la sphère et de l'ellipsoïde (équation de continuité) s'écrira
pt \dx'^ dx"^ ôx^
En résumé, la déformation infiniment petite la plus générale fait subir à une portion de matière du voisinage immédiat de P :
î** Une translation d^ ensemble caractérisée par le vecteur 5'; 2° Une rotation d^ ensemble caractérisée par le tenseur symé-
tricjue gaucïte S,,.;
3° Une déformation pure caractérisée par le tenseur symétrique R,,..
Form,ules de la déformation infiniment petite en coordonnées curvilignes générales. — Il nous est possible ici d'écrire les formules de la déformation en rapportant le milieu à un système fixe de coordonnées x^ curvilignes quelconques. Il nous suffira pour cela de leur donner un caractère tensoriel général et cela en plaçant convenablement les indices (ce qui a déjà été fait) et en rem-
(^) On sait en efret, d'après l'étude élémentaire de la réduction des quadriques en axes rectangulaires, que la somme des coefficients des termes carrés est un invariant. Cette propriété est du reste évidente avec nos méthodes, car l'invariant 9 peut s'écrire sous forme tensorielle
il deviendra dans le premier système
et comme celui-ci est égaleineni rectangulaire, cette dernière expression se réduit aussi à
96 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GKOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.
plaçant le symbole de dérivation partielle par celui de la dérivation covariante.
On obtiendra ainsi le groupe des formules ci-dessous :
/ U '■ = ( A,. ^' ) dx^ = V^' -h W*,
{ds\y'—{dsy = 2 R,..ç dx'- dx%
V/= \\,rdx'\
Wi^Sfrdjcr^
pi
68. Efforts à l'intérieur d'un milieu continu (voir t. III, Chap. XXX). — Traçons dans le milieu continu une surface fermée quelconque S, isolant une certaine portion de matière de volume V. Le milieu total se trouve ainsi partagé en une partie (1) intérieure à la surface et en une partie (II) extérieure.
Sur chacun des éléments de volume (h de (I) agissent des forcies extérieures, proportionnelles à la masse de l'élément, que nous représentons par (F)pâ?T, p désignant la masse spécifique de l'élément c/t.
Supposons maintenant que nous supprimions la portion de matière occupant la région (H); l'équilibre se trouve en général rompu, nous admettrons que, pour le rétablir, il suffise d'appliquer sur chaque élément de la surface S une force convenablement choisie proportionnelle à l'aire d(7 do cet élément et destinée à remplacer l'action du milieu supprimé. Nous appellerons cette force Veffort élémentaiie s' exerçant sur Vêlement superficiel e\. nous la représenterons par la notation (T) dir.
De façon plus précise, nous appellerons normale positive à l'élément d'i celle des deux demi-droites portées par la normale qui est dirigée vers la région (I); l'élément dn aura ainsi une face positive et une face négative, la face positive étant du côté de la normale positive. Le vecteur (T) dy sera dit Veffort élémentaire s^ exerçant sur la face négative de Célémenl di.
Tu
Tu,
