CHAPITRE III. — ESPACES EUCLIDIENS A TROIS DIMENSIONS

En modifiant la surface S, nous pourrons ainsi définir un vecteur eflfort en tout point du milieu et pour toute orientation de l'élément (').

Ceci posé, rapportons le milieu à un système de coordonnées cailésiennes rectano^ulaires x^ et considérons un de ses points P. En P plaçons successivement un élément de surface d<7 de telle sorte que sa normale positive soit orientée suivant les axes de coordonnées, nous appellerons

les efforts sur la face négative correspondant à ces trois positions. Les vecteurs (IV) auront alors des composantes que nous représenterons par le tableau suivant :

Il est facile, à l'aide de ce tableau, d'évaluer les composantes de l'efTort sur la face négative de l'élément cf<T orienté de façon quelconque; il suffît pour cela d'écrire les conditions d'équilibre d'un petit tétraèdre ayant une face portée par l'élément et les trois autres parallèles aux plans de coordonnées. On trouve de suite {voir Ghap. XXX, n* 614) pour les composantes de cet effort les valeurs

a', a-, a* désignant les cosinus directeurs de la normale positive à l'élément considéré.

Montrons maintenant que les neuf quantités T/;t sont les composantes d'un tenseur du second ordre.

Pour cela, considérons au point P deux vecteurs arbitraires $*etT|', de longueurs / et /', et considérons un élément de ;jurface c/cr ayant

pour normale positive la direction du vecteur ;'. Les composantes

( ' ) Il peut se faire que la région ( l ) soil en contact partiel ou total avec d'autres corps que le milieu occupant la région (II); la définition donnée pour rdlort superlici<'l subsiste encore, mais alors Ir^ forces correspondantes sont à classer daiis la c»lé}i;orie dos forces c\l*ériciufs.

APPBLI,. — V.

9^ CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQLES ET MÉCANIQUES.

de l'effort s'exerçanL sur la face négative de cet élément sont alors

"ci —

et le produit intérieur