I. — FORMES LINÉAIRES ET SUBSTITUTIONS LINÉAIRES

i. Rappel de quelques propriétés des déterminants. — Considérons un tableau rectangulaire T, formé avec des nombres disposés suivant n colonnes et p lignes

«11 ai2 . . . Cl\n ^j>l ^/>2 • • • ^pn

tableau que nous représenterons par la notation simplifiée

H a/A II , t = I, 2, ..., /?, / = I, 2, . . ., Al.

En supprimant dans ce tableau un certain nombre de lignes et de colonnes, on peut en déduire une série de déterminants dont l'ordre est au plus égal au plus petit des deux nombres n et p.

Parmi tous les déterminants qu'il est ainsi possible de former, on considère ceux qui ne sont pas nuls et parmi ceux-là ceux dont l'ordre est le plus grand. Cet ordre maximum s'appellera le rang du tableau rectangulaire et l'un quelconque des déterminants non nuls de cet ordre sera dit déterminant principal.

Pour qu'un déterminant 8, d'ordre r, tiré du tableau soit déterminant principal, il faut cV abord quJil ne soit pas nul^ et ensuite que tous les déterminants du tableau d'ordre supérieur à r le soient. Il suffit évidemment de faire cette vérification pour les déterminants d'ordre r -h i et même, comme nous allons le montrer, seulement pour certains d'entre eux-

Supposons en eflet (ce que l'on peut toujours faire en modifiant au besoin l'ordre des lignes et des colonnes) que |e déterminant S soit formé des éléments communs aux /- premières lignes et aux /• premières colonnes du tableau T. Nous allons montrer qu'il suffit de vérifier, pour que S soit principal, la nullité des {n — r) {p — /•) déterminants bordés

a/a a/ti

ai/e

au

En effet, si ces déterminants sont nuls,, on peut évidemment résoudre le système d'équations linéaires

apiJi-^-+- OpiX^-h ... H- a,,nX*^= o

en donnant aux inconnu»-? x' ■ i, .r' + 2^ . , ,^ ^« (Jeg valeurs arbitraires et en tirant des /' premières équations les valeurs des inconnues a?^, ar', . .., ar'*. La condition de compntihilil»- fie l'cqualion non principale de rang h s'écrit en eflet

rt/,1 aui ... ah,r-^iX'-^^-^-au,r+'iX'-^^-\r. .,-^an,n^"

et elle est évidemment une conséquence des conditions ( i ).

Le système considéré a ainsi une indétermination d'ordre n — r et il est