CHAPITRE I, — FORMES LINEAIRES KT QUADRATIQUES
alors cerlain que tous les déterminants d'ordre r •+• i tirés de T sont nuls, oar si l'un d'entre eux ne l'éiait pas, l'indétermination ne pourrait être au plus que d'ordre (n — /• — i ).
'^. Formes linéaires. — On appelle /orme tout polynôme entier et homogène par rapport à une série de /i variables. r^, ^r^, ..., ^". Dans le cas particulier où le polynôme est du premier degré par rapport à l'ensemble des variables, la forme est dite linéaire et peut s'écrire
/ = at a?i -4- «2 ^''' -+- . • • -H On x^ = ^ a/,- x^',
Convention de sommation. — Nous rencontrerons constamment par la suite de telles sommes étendues à un indice qui figure deux fois dans le monôme type des divers termes de la somme. ISous conviendrons de supprimer dans ce cas le signe S qui sera toujours sous-entendu chaque fois que cette particularité {présence dans un monôme d'un même indice à deux places différentes) se présentera. L'indice de sommation sera alors dit un indice muet; il est évident du reste que le nom donné à l'indice muet n'a aucune importance.
Comme nous aurons toujours à considérer à la fois plusieurs formes linéaires, nous emploierons pour les représenter la notation
fi— atkX^^
l'indice i servant à caractériser les différentes formes (*).
Une forme linéaire sera dite identiquement nulle si elle prend la valeur zéro quelles que soient les valeurs numériques données au\ variables. Il est évident que la condition nécessaire et suffisante pour ou'il en soit ainsi est que les coefficients aifc soient séparément nuls.
3. Formes linéaires indépendantes. — Soient p formes simultanées de n variables,
// = aikx^ ( f = 1 , 2, ..., p)\
(') Il ne faut attacher ici aucune importance particulière à la place des indices; nous verrons plus tard les règles qui nous conduisent à les placer tantôt eu haut, tantôt en bas. Mentionnons cependant que nous nous arrangerons pour que, dans les différents termes des cquations. les indices non muets soient toujours à la même hauteur et que (sauf quelques exceptions) dans un monôme les indices muets occupent une fois la position haute et une fois la position basse
En tout cas, la place d'un indice, aussi bien que son nom, x rt à discriminer les différents coeffic ients écrits et, par exemple, si Ton renconlie par la suite des expressions de la forme a- et a', il doit être bien entendu qu'elles représentent <les /îom^res différents. Naturellement il faudra se garder de confondre les indices supérieurs avec des exposants, mais^ comme nous le verrons, cetl.^ confusion est peu à craindre.
4 \l.ril TENSORIEL. APPLICATIONS GKO.MÉTRIQLES ET MÉCANIQUES.
ces formes seront dites linéairement indépendantes s'il est impossible de trouver/? coefficients numériques X* tels que la nouvelle forme
soit identiquement nulle.
Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que le système des n équations linéaires homogènes
aux inconnues X' n'ait d'autre solution que X^ = o.
Les X* doivent donc toutes être des inconnues principales et la condition d'indépendance se traduit par le fait, que le rang du lableau rectangulaire IJa//,]! doit être égal à/?, nombre des formes.
On peut exprimer d'une seconde manière cette condition d'indépendance par l'énoncé suivant dont la démonstration est immédiate :
Pour que p formes soient linéairement indépendantes^ il est nécessaire et suffisant qu'on puisse choisir les valeurs numériques des variables de telle sorte que les formes prennent des valeurs numériques arbitrairement données à Vacance.
Il en résulte alors que p formes linéairement indépendantes sont aussi absolument indépendantes, c est-ù-dire cpril est impossible de trouver entre elles une relation de forme quelconque
*»/l^/2 fp)^o.
Si une telle relation existait, la \aleiir numérique de l'une des formes serait déterminée dès qu'on aurait fixé celles des n— -i autres, ce qui serait i*n contradiction avec l'énoncé précédent.
Si, au contraire, le rang /• du tableau jjrt,/. |( est inférieur au nombie des formes, celles de ces formes qui contiennent les coefficients du déterminant principal sont évidemment indépendantes et il est aisé de voir que chacune des p -- r autres formes s'exprime d'une façon linéaire et homogène en fonction de celles-là.
4. Substitutions linéaires . — Considérons un système de n relationde la form-e
(2) xi= xj,7^"
entre deux séries de n variables x'- et rc' et telles que de plus le déterminant jja^ll soit différent de zéro.
Nous dirons que ces relations définissent une substitution linéaire que
nous représenterons par le symbole ir = T x.
Une substitution linéaire est entièreinent déterminée ()ar la donnée de ses coefficients. Ceux-ci forment un tableau carré qui est dit la matrice i\e
•JHAPITRE I. — FORMES LINEAIRES ET QUADRATIQUES. D
la siibstitulion; la valeur du déterminant formé par ces coefficients en sera le module.
Il est évidemment possible de faire, d'une façon unique, l'inversion des
formules (2), c'est-à-dire de les résoudie par rapport aux variables x', ce qui donnera
(2') X^=zxi.X''.
La nouvelle substitution ainsi définie sera dite Vinverse àe, la précédente,
nous rappellerons x — T~* x et Ton vérifie immédiatement qu'il y a entre les coefficients de ces deux substitutions les relations
• f / { o SI k ^ L ^ ' '' ' '' ( I si /• = /.
Considérons maintenant deux substitutions linéaires successives entre trois séries de variables
et
on obtient immédiatement les formules permettant de passer directement des variables r^ aux variables x^ sous la forme
(T3) ar'=Y^>,
en posant
Cette dernière substitution sera dite le produit des deux premières; nous
écrirons symboliquement
T3=TiXT2
et les règles élémentaires de multiplication des déterminants montreront immédiatement que le module de la substitution produit est égal au produit des modules des deux substitutions facteurs.
Cette définition se généralise évidemment à un produit de plus de deux substitutions; cette multiplication n'est pas en général commutative (*).
En particulier le produit de deux substitutions inverses donne la substitution identique (que nous représenterons par le symbole T^ ^ i), dont le module est évidemment égal à l'unité. Donc les modules de deux substitutions inverses sont arithmétiquement inverses Vun de Vautre.
L'ensemble de toutes les substitutions linéaires forme évidemment un
(^) Lorsque cette multiplication est commutative, les deux sul)stilulions sont dites permutables ; c'est le cas pour deux substitutions inverses.
6 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.
groupe^ c'est-à-dire que le produit de deux substitutions quelconques de l'ensemble en fait aussi partie (i).
S. Substitutions orthogonales. — Une substitution est dite orthogonale lorsqu'elle entraîne rideniité
Cette condition se traduit sur les coefficients de la substitution par les relations
( o si A 7^ /f,
Celles-ci permettent facilement de faire l'inversion de la substitution donnée et l'on trouve
X^ = OL/f X^,
avec
Les matrices de deux substitutions orthogonales inverses ne diffèrent donc que par l'échange des lignes en colonnes. On en conclut immédiatement:
I** Qu'il existe aussi entre les éléments des lignes de la matrice des relations analogues
I SI h = k.
1° Que les deux substitutions ont même module, celui-ci ayant alors nécessairement pour valeur [jt = dz i.
Les substitutions orthogonales pour lesquelles (jl = -+- i sont dites droites^ les autres sont dites gauches. L'ensemble de toutes les substitutions orthogonales forme évidemment un groupe; il en est de même de l'ensemble des seules substitutions orthogonales droites.
IL — FORMES QUADRATIQDES.
6. Définitions générales. — On appelle forme quadratique tout polynôme homogène du second degré par rapport à n variables xK Nous re-
(') Il en serait de même de rensemble des substitutions à coefficients réels, ou encore de l'ensenible des substitutions à coefficients rationnels qui forment des sous- groupes du groupe précédent.
