CHAPITRE IV

ESPACES EUCLIDIENS A n DIME^^SIONS.

70. Introduction. — Nous nous proposons, dans ce Chapitre et le suivant, de faire l'étude des espaces à // dimensions, c'est-à-dire des multiplicités auxquelles on a adjoint une forme quadratique fondamentale gikdx^ dx'' définissant la <^f5^«/ice entre deux points voisins (' ). Systématiquement nous introduirons le langage gét)métrique en prenant pour guide le cas familier de la géométrie euclidienne à trois dimensions.

Cette généralisation ne reste pas dans le cadre de la pure spéculation mathématique, elle est susceptible d'applications directes ; c'est ainsi que l'étude du mouvement d'un système matériel à p paramètres peut se ramener utilement à celle d'un espace à p dimensions. La théorie cinétique des gaz conduit même à l'étude de multiplicités à un très grand nombre de dimensions, aux propriétés bizarres (-). Enfin les théories de la relativité ont donné récemment une signification physique précise au cas /i == 4*

Nous commencerons par une étude des Gspsices euclidiens,, dont nous indiquerons sommairement les propriétés essentielles, car il

(') Mous ne discuterons pas ici le choix inu' nous faisons pour lepiéscnlcr la distance d'une forme quadratique homogène de dillérentielies. On pourra consulter à ce sujet, indépendamment du Mémoire fondamental de Riemann : Ueber die Hypothesen, welc/te der Géométrie zugrunde liegen {(Cuivres de liieinann, trad. Laugel, Gauthier-Villars) et de l'Ouvrage de tl. Weyl, Temps, Espace, Matière, les articles suivants :

H. Weyl, Die Kinzigartigkeit der Pythagoreischen Massbestimm an g [Matlienyiliscke Zeitschrift^ Bd 12, iç)^^).

E. Gahtan, Sur un théorème fondamental de M. //. Weyl {Journaf de Mathématiques pures et appliquées, 1923, p. 167).

(') Cf. E. BoREL, Introduction géométrique à quelques théoiies physi(fues ( Clauthior-Villars).