CHAPITRE IV. — ESPACES EUCLIDIENS A H DIMENSIONS. lOI

ne s'agit ici que d'une généralisation pres({ue immédiate de la «géométrie analytique élémentaire.

Un espace sera dit euclidien s'il est possible, par un changement de variables convenablement choisi, de ramener les coefficients ^^i de la forme quadratique fondamentale à être des constantes. Nous allons d'abord supposer que cette condition a été préalablement réalisée.

I - ÉTUDE DUN ESPACE EUCLIDIEN DANS LE CAS OU LES COEFFICIENTS DE LA FORME QUADRATIQUE FONDAMENTALE SONT DES CONSTANTES.

7 1 . Espaces purement euclidiens et pseudo-euclidiens. — Si les coefficients ^/^ sont des constantes, les seuls changements de variables que nous pourrons envisager seront des substitutions linéaires à coeflicients constants

Les coeflicients a^ ne sont autres du reste que les dérivées partielles x). précédemment introduites, et naturellement leur

déterminant devra être différent de zéro.

Si nous décomposons la forme quadratique en carrés, par un changement de variables approprié nous pourrons la ramener à la forme

Nous savons d'une part que le nombre total des carrés est égal au nombre ii des variables et d'autre part que le nombre des e, de chaque signe est indépendant du procédé de décomposition. Deux cas sont donc à distinguer :

i" i^es ir sont lous de même signe, la forme quadratique est alors délinie; ce cas est une extension directe de la géométrie classique et nous dirons que l'espace est alors purement euclidien ;

•1^ Les e, sont de signes diff^érents, la forme quadratique estindétinie et l'espace sera dit pseudo-euclidien ou encore hyperbolique; ce dernier cas est particulièrement important, car c'est lui qui se présentera dans l'étude de la relativité.

Celte distinction est du reste inutile si on laisse de côté la réalité des éléments, étudiés, elle est au contraire fondamentale si l'on en tient compte et elle difFérencie profondément les deux cas ( ' ).

Nous étudierons pour le moment les propriétés communes à ces deux sortes d'espaces et nous tirerons seulement des conséquences du fait que les gik sont des constantes sans faire intervenir la forme réduite résultant de la décomposition en carrés (^).

72. Variétés de l'espace euclidien. Variétés linéaires. — Supposons que les coordonnées x^ d'un point P de l'espace soient des fonctions de p paramètres distincts et irréductibles ( ^).

Lorsque nous faisons varier de toutes les façons possibles ces p paramètres, nous obtenons un ensemble de points faisant partie de la multiplicité donnée et qui sera dit constituer une variété à p dimensions.

Si en particulier les relations en question expriment les .r^ en fonctions linéaires des paramètres, nous obtiendrons des variétés dites linéaires. Il est évident que cette dernière définition se conserve si l'on effectue sur les x'- un changement de variables également linéaire.

Si dans la forme quadratique fondamentale nous remplaçons les x^ par leurs valeurs en fonction des paramètres, nous obtenons une nouvelle expression, dite forme quadratique fondamentale relative à la variété. En particulier, si la variété est linéaire, la forme relative sera évidemment aussi à coefficients constants, si bien que de telles variétés peuvent être considérées comme des sous-espaces euclidiens, inclus dans l'espace donné et à un nombre de dimensions plus faible.

Les plus simples des variétés linéaires sont celles à une dimension,

(*) Soir en particulier pour une étude de la géométrie hyperbolique, E. Borel, loc. cit.

(') Remarquons seulement, pour prévenir des erreurs possibles, que si l'on opère avec la formule réduite on a gi^ = o si i 7^ /: et gij^ = s^ si i = k = r; les composantes de type différent d'un tenseur ne sont alors identiques que pour le cas purement euclidien. Pour Se cas pseudo-euclidien, certaines composantes contrevariantes peuvent différer par le signe des composantes covariantes correspondantes.

( ' ) C'est-à-dire tels qu'on ne puisse pas, par un changement de variables effectué sur eux, diminuer leur nombre. On appelle de tels paramétres des paramètres essentiels; leur nombre est évidemment au plus égal à n.