CHAPITRE IV. — ESPACES EUCLIDIENS A ri DIMENSIONS. Io

caractérist'es par des équations du tjpe

OÙ t varie de — oo à + oo. Nous leur donnerons encore le nom de droites. Elles jouissent de la propriété importante de pouvoir être ordonnées, c'est-à-dire qu'étant donnés trois points de l'une d'elles, on peut définir, d'une façon indépendante du choix des variables et du choix du paramètre, celui des points qui est entre les deux autres; on peut aussi par suite définir un sens sur la droite.

Une droite est entièrement déterminée par la donnée de deux de ses points non confondus. Soient en effet deux points A et B, de coordonnées respectives a'' et b\ les équiations

x'^ — ib'' — a'') t -\- a^

représentent une variété linéaire qui les contient évidemment.

Parmi les variétés linéaires, considérons encore celles k n — i dimensions; en éliminant les paramètres entre les équations qui la définissent, une variété de ce type pourra encore être caractérisée par une relation linéaire à coefficients constants entre les coordonnées x^\ nous lui donnerons encore le nom àQ plan (').

73. Vecteurs. — Reprenons les formules de définition de la droite déterminée par deux points A et B

si nous j faisons varier £ de oà i, nous obtenons seulement un segment de la droite, parcouru dans un sens déterminé: ce sera par définition le vecteur (AB).

Un vecteur sera évidemment entièrement déterminé par la donnée des coordonnées a' de son origine et par ses composantes ^i r= b'' — a\ Dans un changement de variables, les composantes Ç^ se transforment par contrevariance et nous pourrons les regarder comme les composantes contrevariantes d'un tenseur du pre-

(*) ISous nous servirons peu des variétés linéaires intermédiaires. Dans le cas de l'espace à quatre dimensions, où il n'y a que trois types de variétés linéaires» on emploie fréquemment les noms de droite, plan, hyperplan suivant qu'elles sont à I, 2 ou 3 dimensions. Ici, nous ne précisons pas la valeur de n et nous préférons garder les mots droite et plan pour les variétés extrêmes.

I04 r.AlÀ'.Vl. TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.

mier ordre allaclié au point \. Le vecteur aura par suite aussi des composantes covariantes, définies par les règles d'ahaissenienl de l'indice.

Propriétés générales des vecteurs. — Les vecteurs ainsi définis jouissent évidemment de toutes les propriétés des vecteurs de la j^éométrie ordinaire. Rappelons-les rapidement.

Etant donné un vecteur (Ç), si Ton multiplie ses composantes par un même nombre X, on obtient un nouveau vecteur X(Ç), de même origine et porté par la même droite.

Étant donnés deux vecteurs (^) et (/i) de mêuic origine A, en additionnant leurs composantes de même l'ang, on obtient \n\ nouveau vecteur dit la somme des deux premiers. Celte opération, susceptible de s'étendre à un nombre quelconque de vecteurs, est commutalive et associative.

Si l'on multiplie deux vecteurs (^) et (yj) de même origine par un même nombre, leur somme est multipliée par ce nombre.

Naturellement les opérations de multiplication intérieure ou extérieure, définies au Chapitre II sur les tenseurs du premier ordre, s'appliquent aussi ici sans modification.

74. Long-ueur d'un vecteur. — Reprenons le vecteur { ;), de < oniposantes ^' el d'origine A, un point quelconque P situé sur lui aura des coordonnées de la forme

T' = ^*'/ -h rt' ( O < / < I I.

Si l'on donne à t un petit accroissement positif dt. le point I* vient en P' de coordonnées

ar*-h dx'^= ^H t ->r- (II) -r- rt',

et la distance PP' est par définition égale à ygik ç '^'^ dt. Nous appellerons longueur du vecteur l'intégrale

(n / = / V'a'/a>Ç^- di - s/JFn^'^,

Si l'on représente par F (^dx) la forme quadratique fondamentale, la longueur est donnée par la formule

(') Dans le cas pseudo-euclidien, la forme quadratique n'étant pas définie, a