CHAPITRE IV. — ESPACES EUCLIDIENS A îl DIMENSIONS. lo

75 Translation. —Si, à un point A quelconque de l'espace, nous attachons un vecteur (^) ayant ce point comme origine et dont les

(•oinposaiites ^' soient indépendantes des coordonnées de A, nous dirons encore que le point B, extrémité de ce vecteur, est déduit du point A par une translation caractérisée par le vecteur (^).

76. Angle de deux vecteurs. — INous appellerons par définition cosinus de l'angle de deux vecteurs (Ç) et (ri), de longueurs t et /', un nombre relatif tel que le produit scalaire des deux vecteurs soit égal à / /' cos V.

On aura donc

On traitera cette quantité comme s'il s'agissait d'un cosinus ordinaire et Ton définira par exemple s'il en est besoin le sinus de l'angle par la formule

(3) sin2V = I — cos»V =

L'invariant [ = F(^Ç)F(y^) — [F(Ç|y|)j=^ du numérateur est susceptible d'une autre expression, on a en effet

on peut donc écrire

ou par permutation du nom des indices muets/? et q

ce qui donne enfin

On reconnaît dans cet invariant ce que nous avons appelé dans le Chapitre précédent le carré de la grandeur de l'aire du parallèle-

longueur du vecteur n'est pas nécessairement réelle, mètne si ses composantes le sont. Certains auteurs préfèrent par suite appeler longueur du recteur la valeur de la forme quadratique elle-même et non sa racine carrée. De même, la longueur d'un vecteur peut être nulle sans que toutes ses composantes le soicnl w

gramme construit sur les deux vecteurs (*), si bien que, comme en géométrie ordinaire, cette aire est égale au produit des longueurs des vecteurs par le sinus de leur angle (- ).

77. Condition de parallélisme de deux droites. — Dans le cas pseudo-euclidien, il peut arriver que le sinus de l'angle de deux vecteurs de même origine soit nul sans qu'ils soient portés par la même droite. Aussi pour définir le parallélisme de deux droites, nous ne ferons pas appel à une propriété angulaire et nous dirons que deux droites sont parallèles si l'une se déduit de l'autre par une translation.

77*. Condition d'orthog-onalité de deux droites. - Dune façon générale, on déiinira l'angle de deux droites comme l'angle de deux vecteurs quelconques portés respectivement par ces droites. En particulier, la condition d'orthogonalité de deux vecteurs (ou de deux droites) s'écrira sous l'une des formes équivalentes

78. Plan perpendiculaire à une droite en un de ses points. — Soit une droite définie par un vecteur (AB), décomposantes \\ et soient a^ les coordonnées du point A. Les coordonnées x'' de l'extrémité P d'un vecteur quelconque (AP) orthogonal au vecteur (AB)

satisfont à l'équation

(') On généraliserait de même les notions que nous avons données aux n"' 61 et 62 d'élément linéaire à deux, trois, ... dimensions.

(2) On peut obtenir d'une façon différente l'angle de deux vecteurs en définissant d'abord comme en géométrie ordinaire le rapport anharmoniqne de quatre points en ligne droite (rapport anharmonique de leurs paramètres). Les vecteurs de longueur nulle 'ssus d'un point O ont alors leurs extrémités sur la variété quadratique an — i dimensions

que nous appellerons le cône isotrope de sommet O.

Étant donnés alors deux vecteurs (OA) et (OB) issus de O, on déterminera les deux poiuts P et Q d'intersection de la droite ABaveè le cône isotrope et l'on définira l'angle V par la formule de Laguerre

et par suite cosV et sinV par les formules d'Euler.

Le calcul est facile et le lecteur vérifiera sans peine que cette définition coïncide avec celle que nous avons adoptée plus haut.