CHAPITRE IV. — > ESPACES EUCLIDIENS A Al DIMENSIONS. IO
n. — COORDONNÉES CURVILIGNES DANS UN ESPACE EUCLIDIEN A n DIMENSIONS.
82. Courbes et surfaces de coordonnées. — Supposons maintenant l'espace rapporté à un système de coordonnées dans lequel les coefficients de la forme quadratique soient des constantes et aient de plus les valeurs normales, o ou i , résultant de la décomposition en carrés. Nous appellerons, pour abréger, un tel système un système cartésien normal et nous le représenterons dans la lin de ce Chapitre par la notation x'-.
Considérons à côté de ce premier système un second ensemble de variables en même nombre x^ liées aux précédentes par des relations quelconques
le déterminant fonctionnel étant naturellement diiïerent de zéro.
Dans ce nouveau système, les coefficients de la forme quadratique ne seront évidemment plus des constantes.
Nous allons pouv^w^*^ répéter à ce sujet à peu près textuellement ce que nous avons dit au début du Chapitre III. Si dans les formules précédentes, nous faisons varier la seule variable x\ les autres restant fixes, le point correspondant décrira une variété à une dimension, que nous appellerons la courbe x^ = variable.
De même, si nous faisons varier, indépendamment l'une de l'autre, deux variables x'' et x\ les autres restcint fixes, nous obtiendrons une variété à deux dimensions .2:^ = fa/7'a6/e, .r'= variable^ et ainsi de suite.
En particulier, si l'on fait varier, indépendamment les unes des autres, toutes les variables, à l'exception d'une seule x'', on obtient une variété à n — i dimensions que l'on appellera la surface x^^^con^l.
Supposons-nous placés en un point particulier P de l'espace, de
coordonnées x'; par ce point passent n courbes de coordonnées.
pourra se reporter au Mémoire suivant qui traite la question, noa seulement pour l'espace euclidien et en coordonnées curvilignes, mais aussi directemenl pour Tespace riemannien.
VV. Hlxhcukk, Frenets Forniein /iir den finu/n von Rieinann (Ha th. Zeitschr. Bd VI, ,j)„)).
no CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.
Amenons le point, P en une position voisine P', de coordonnées x^^dx^ par un petit déplacement le long de la courbe x^ = variable. Nous aurons
le vecteur (PP) aura donc des composantes contrevariantes proportionnelles aux dérivées partielles x\ (prises au point P naturellement). Autrement dit, ces mêmes dérivées partielles sont les composantes contrevariantes d'un certain vecteur fini (T'), tangent en P à la courbe x^ = variable.
En raisonnant de même sur les autres courbes issues de P, on définira ainsi un angle polyèdre des tangentes en P aux courbes de coordonnées, dont les arêtes seront du reste orientées.
Supposons de même que nous déplacions le point P infiniment peu sur la surface x^ = const., les composantes de ce déplacement seront telles que l'on ait
x\ dx^ = o.
La position nouvelle P' du point P sera donc dans un plan d'équation
Les dérivées partielles x] sont donc les coefficients de ce que
nous appellerons le plan tangent en P à la surface x^ = const. ; elles peuvent du reste être aussi regardées comme les composantes covariantesài'wTi vecteur (N'), normal enPà cette même surface, INous définirons donc ainsi un angle polyèdre des normales aux surfaces de coordonnées, aux arêtes également orientées , supplémentaire de l'angle poljèdre des tangentes.
