CHAPITRE I. — FORMES LINÉAIRES ET QUADRATIQUKS
présenterons une telle forme par la notation abrégée
F(a?) = gikoc^x^ (*).
Oft peut toujours supposer que les coefficients gik satisfont à la loi de symétrie gik = gki'-, en eflet, s'il n'en est pas ainsi, par permutation du nom des indices muets, on peut écrire successivement
P(^) = gikOC'x^=. gkix^x^^ -iê^ik-^ gki)xix^\
et sous cette dernière forme U condition de symétrie est remplie. Nous supposerons toujours par la suite qu'il en est ainsi.
Les demi-dérivées partielles de la forme quadratique constituent un systènie de n formes linéaires .
Le déterminant symétrique droit g =i}\gik\(ioTit\é à l'aide des coefficients de ces formes porte le nom de discriminant de la forme quadratique.
7. Décomposition d'une forme quadratique en somme de carrés de formes linéaires indépendantes. — Nous nous contenterons de rappeler en quelques mots la méthode bien connue, due à Gauss, permettant de décomposer une forme quadratique en une somme de carrés de formes linéaires indépendantes.
La méthode consiste à mettre en évidence des carrés par l'application répétée de l'un ou l'autre des procédés suivants.
On partira d'une ou de deux variables qu'on appellera variables directrices.
1® Une variable directrice. — Supposons qu'une des variables, x^ par exemple, figure explicitement par son carré dans la forme quadratique igw ^ o); celle-ci pourra alors s'écrire
avec
(') La forme comprend des termes carrés {i z=: k) et des termes rectangles (i pé/r); ces derniers se trouvent à deux places dans la somme double du second membre, par exemple le terme x^ x'' s'introduit avec les coeflicients ^,, ou gy^ suivant qu'on prend pour le couple d'indices i. k la combinaison 1,2 ou la combinaison 2,1.
et l'on vérifiera immédiatement que la forme quadratique résiduelle <i> ne contient plus la variable œ^.
1" Deux variables directrices. — Prenons au contraire deux variables, x^ et .r2 par exemple, dont le produit se trouve dans la forme quadratique (^',2 ^ o), leurs carrés n'y figurant pas {gu = ^22 = <>)•
On pourra éciire
ou encore
avec
I j)F •i. dx^
et l'on vérifiera comme plus haut que la forme quadratique 4> ne contient plus ni x^ ni x"^.
En opérant ainsi de proche en proche, on finira par épuiser toutes les variables et la forme quadratique se iiduvera bien décomposée en une somme de carrés de formes linéaires.
On démontrera immédiatement que les formes obtenues par ce procédé sont indépendantes en montrant, d'après le n" 3, qu'on peut, par un choix convenable des variables, leur faire prendre des valeurs arbitrairement données à Tavance.
Cette méthode de Gauss conduit évidemment à plusieurs décompositions, suivant l'ordre dans lequel on fait intervenir les variables; on pourrait imaginer du reste d'autres procédés. Néanmoins les diverses décompositions possibles possèdent un caractère commun :
De quelque manière que Von décompose une forme quadratique en une somme de carrés de formes linéaires indépendantes, on trouve toujours un nombre de carrés égal au rang de son discriminant.
En effet, supposons la forme F décomposée en une somme de p carrés
Les formes linéaires
X/= CLi/tX^
étant indépendantes, le rang du tableau ||a/A^|| de leurs coefficients sera égal à />, et l'on peut toujours, en changeant au besoin le nom des variables, supposer que le déterminant formé à l'aide des/) premières colonnes de ce tableau est différent de zéro.
Les derai-dérivées partielles de la forme F s'écrivent alors
- F^-.= aA-iXyt.
