CHAPITRE IV. — ESPACES EUCLIDIENS A n DIMENSIONS. Il

Supposons qu'on donne au point P un petit déplacement

l'amenant en P', de coordonnées x^-\-dx{^ et soit (Ç') le vecteur du champ correspondant au point P'. Ce dernier vecteur aura pour composantes les quantités

JHi

Dans le déplacement de son origine, le vecteur a subi un certain accroissement défini par la différence entre (^') et (<). Nous attacherons ce vecteur accroissement au point P, il aura pour composantes contrevariantes

-ti- dx'\ dx>'

Or nous pouvons tout aussi bien écrire ces composantes sous la forme

\j^^dx>-,

puisque dans le système cartésien normal la dérivation covariante coïncide avec la dérivation partielle ordinaire.

Mais, sous cette forme, ces quantités présentent le caractère tensoriel d'un système contrevariant du premier ordre, si bien que, dans un système de coordonnées curvilignes quelconques, où les gif( ne sont plus des constantes, les composantes contrevariantes du vecteur accroissement ont encore pour expressions

En particulier, si dans le déplacement de P en P' le vecteur est resté équipollent à lui-même, nous conviendrons de dire qu'il a subi un déplacement parallèle et les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il en soit ainsi s'écriront

(i5) ^r\^ dx> ^ o,

ou, en explicitant la dérivée covariante,

ou enfin

Ci5") d\i-\- Y /'•e^rf^'-=o.

APPKLI.. — V.

Il4 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMETRIQtES ET MÉCANIQUES.

Si ces conditions sont réalisées quel que soit le déplacement infiniment petit donné au point P, nous dirons que le champ de vecteurs est stationnaire au point P.

87. Application. Forme invariante des équations de la droite. — Reprenons les équations paramétriques d'une droite rapportée à un système cartésien normal

Nous pouvons interpréter ces équations comme représentant un mouvement^ le paramètre t jouant le rôle du temps de la Mécanique classique. Les o'^ seront alors les composantes contrevariantes du vecteur vitesse. Les formules définissent alors un mouvement rectiligne uniforme et, quand le pointdécrit la droite, le vecteur vitesse se propage par déplacement parallèle.

Inversement, toute droite peut évidemment être définie comme la trajectoire d'un point dont le vecteur vitesse reste équipollent à lui-même.

Or, cette nouvelle définition se traduit, d'après ce que nous Venons de voir, dans tout système de coordonnées par la condition

de déplacement parallèle du vecteur a*= -7-5 ce qui donne les

équations différentielles caractéristiques de la droite sous la forme

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier par un calcul direct que ce système d'équations différentielles admet l'intégrale première

dx^ dx^

qui exprime le fait évident que dans le déplacement parallèle la longueur du vecteur vitesse reste invariable ( ' ).

(') On aurait pu présenter ces considérations sous une forme légèrement différente. On vérifie immédiatement que, même pour un mouvement quelconque., les premiers membres des équations (16) représentent les composantes contrevariantes du vecteur accélération. Les équations différentielles de la droite caractérisent alors le mouvement d'un point sur lequel n'agit aucune Jorce. L'intégrale première mentionnée plus haut exprime alors la constance de la force vive.