CHAPITRE IV. — ESPACES EUCLIDIENS A n DIMENSIONS. u

La forme des équations diflérentielles que nous venons de trouver nous est du reste familière, et nous voyons, comme il fallait s'y attendre, que la droite s'introduit aussi comme géodésique de l'espace euclidien.

IV. — CONDITIONS NÉCESSAIRES ET SUFFISANTES POUR QU'UNE FORME QUADRATIQUE DONNÉE CARACTÉRISE UN ESPACE EUCLIDIEN.

88. Rôle du tenseur de Riemann-Christoffel. — Dans les paragraphes précédents, nous avons montré comment on pouvait calculer dans un système de coordonnées quelconque les nouvelles composantes \' -\- d^' d'un vecteur (5) soumis à une translation infiniment petite (dx). Parles procédés habituels du calcul intégral, nous pourrons étendre ces considérations au cas où Ton déplace par translation le vecteur le long d'une courbe donnée d'une longueur linie quelconque. Si l'on suppose connues les équations paramétriques de cette courbe en fonction d'un paramètre ^, les équations ( i 5") deviennent des équations différentielles déterminant, en fonction de leurs valeurs initiales, les composantes ?^ en un point quelconque de la courbe.

Or, si nous raisonnons dans le système cartésien normal, le résultat doit évidemment être déterminé de façon univoque, indépendamment de la courbe décrite par l'origine du vecteur dans son déplacement. Cette propriété de l'espace euclidien doit se refléter sur les équations différentielles du déplacement parallèle.

Si nous y regardons les ;z*^, non plus comme des fonctions connues d'un paramètre, mais comme des variables indépendantes, elles forment un système d'équations aux différentielles totales équivalent au système d'équations aux dérivées partielles

Pour que ces équations permettent de déterminer univoquement les fonctions ^' d'après la donnée numérique de leurs valeurs en un point initial quelconque, il faut qu'elles forment un système complètement intégrable! Les conditions pour qu'il en soit ainsi s'obtiennent en écrivant l'identité des dérivées partielles secondes qu'on peut tirer de deux façons des équations du système.

Il6 CALCUL TENSORIEL, APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

On aura, par exemple.

,a ri

ôr'' àx" âx" ( i \ dx

~ àx-' ' ] i \ I \ \

OU, en permutant dans le dernier terme les noms des indices muets À et |JL,

âx'' àx" ^ \

En ccliangeant maintenant les indices /• et s et en faisant la diflerence, on a

Dans la parenthèse nous reconnaissons les composantes mixtes du tenseur de Riemann-ChristofTel, et comme cotte expression doit être nulle quelles que soient les r' et les ç\ nous obtenons les conditions d'intégrabilité sous la forme

JNous savons (ju'elFectivement ces conditions sont réalisées dans l'espace euclidien; en eiïet, les composantes du tenseur de Riemann- Christoffel sont évidemment nulles dans le système cartésien normal et par siiile elles le sont aussi dans tout autre système de coordonnées.

Inversement, nous allons montrer que, si le tenseur de Riemann- ChristofTel est identiquement nul, l'espace est euclidien, c'est-à-dire qu'on peut trouver un changement de variables ramenant les coefficients de la forme quadratique fondamentale à être des constantes.

En efTet, puisque alors les conditions d'intégrabilité du système (17) sont satisfaites, nous pouvons en tirer d'une façon univoque