CHAPITRE IV. — ESPACES EUCLIDIENS A n JUlAllii>Sior\s. II

les composantes de n vecteurs (?(a)) (') attachés à un point quelconque de l'espace et se réduisant en un point choisi pour origine à n vecteurs arbitrairement donnés à l'avance. JNous prendrons ces vecteurs initiaux linéairement indépendants, c'est-à-dire que le déterminant de leurs composantes devra être différent de zéro.

Or, s'il existe un système cartésien de coordonnées a?', les courbes de coordonnées de ce système sont des droites qui formeront en tout point de l'espace un angle polyèdre de n aréles se déduisant évidemment d'une de ses positions par déplacement parallèle. Essayons d'identifier cet angle polyèdre avec celui déterminé par les vecteurs que nous venons de construire. 11 suffira pour cela de poser

Nous obtenons ainsi un nouveau système d'équations aux dérivées partielles, qui est aussi complètement intégrable. On a en effet

et la symétrie du résultat en a et p montre que l'on a bien

â.x^ àx'^ dx^ àx"-

Ce système permettra donc de déterminer de façon univoque un changement de variables

les ^^ se réduisant à des quantités données à l'avance pour des

valeurs initiales des .r^ et le déterminant fonctionnel sera bien différent de zéro.

Il est maintenant facile de constater que dans ce noiiveau système les giic sont bien des constantes; en effet la formule de Christoffel

âx<^dx^ f ^ \ àx<^ âx^ i ^ ) dx^

(') Nous [plaçons les indices entre parentl»èses pour montrer qu'ils sont de simples numéros d'ordre des n vecteurs, ils n'indiquent aucun caractère de covariarrce.

Jl8 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

se réduit, en tenant compte de l'équation (19), à

par conséquent dans le système x' les symboles de deuxième

espèce sont nuls, il en est donc de même des dérivées partielles -Aè^ [form. (i4) et(i5), Ghap. II].