CHAPITRE V

ESPACES RIEMANNIENS A n DIMENSIONS.

Abordons maintenantrélude de l'espace riemannien général. Elle peut se faire par deux méthodes également imporlantes. L'une, employée en particulier par M. Levi-Civita, consiste à regarder l'espace riemannien à étudier comme contenu dans un espace euclidien à un nombre de dimensions plus grand. L'étude se trouve ainsi ramenée à celle des variétés non linéaires de l'espace euclidien.

L'autre, développée par M. Weyl, et peut-être plus conforme à l'esprit des méthodes de géométrie infinitésimale, envisage une à une des portions très petites de l'espace dans le voisinage de ses différents points; les propriétés de ces domaines infinitésimaux diffèrent peu de celles de domaines euclidiens en vertu de la continuité des coefficients gik\ le point le plus délicat est de déterminer ensuite la nature de la connexit)n que l'on peut établir entre des domaines voisins.

Nous allons dans ce Chapitre exposer la première de ces deux méthodes.