I. - MÉTHODE DE M. LEVI-CIVITA. GÉNÉRALITÉS

89. Notations et formules préliminaires. — Supposons donné un espace riemannien à n dimensioois par sa forme quadratique fondamentale gihdx^ dx^ dans un système quelconque de variables x^ et cherchons s'il est possible de trouver un espace euclidien le contenant. Nous supposerons ce dernier à m dimensions et rapporté à un système cartésien normal de coordonnées y^.

On devra pouvoir trouver des formules

I20 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.

telles que la forme quadratique ^ (<^X^y^ se réduise à ^/^ dx^ dx^

quand on y substitue les x aux y.

L'idenliiication conduit immédiatement aux relations

àfp dy?

qui forment un système de ; équations aux dérivées partielles aux m fonctions inconnues y9. La résolution n'en sera en

i;enerai possible que si m est au moins égal a — ^ (•).

Naturellement, si les fonctions gi^ sont liées par des relations particulières, il peut se faire que ces équations soient compatibles même pour des valeurs de m intérieures a •

Pour éviter les confusions qui pourraient résulter de l'emploi simultané de deux e^acés à nombres de dimensions difTérents, nous adopterons fjour ce Chapitre des notations spéciales.

Nous appellerons êi. l'espace riemannien et nous représenterons les coordonnées d'un point ou les composantes d'un tenseur dans cet espace par l'une des lettres a, a, x, $, affectées dHndices en lettres latines variant de \ à n.

Nous appellerons C l'espace euclidien contenant A et nous représenterons les coordonnées d'un point ou les composantes d'un tenseur par rapport à un système cartésien normal de cet espace par l'une des lettres 6, P, r, "n? affectées d'indices en lettres grecques variant de \ à m.

Nous allons établir maintenant une formule qui nous sera utile par, la suite et qui nous permettra d'exprimer les symboles de Cliristofî'el en fonction des dérivées partielles des y? par rapport aux x"- (-).

( ' ) En particulier si n — 2, ; = 3, autreiuent dit il n'existe pas d'autres

surfaces que celles que nous éludions dans l'espace euclidien à trois dimensions. Au contraire si /i = 3, ^''^"^'^ = 6 et par conséquent si nous nous trouvions dans un espace euclidien â quatre dimensions, les sous-espaces riemanniens à trois dimensions que nous pourrions y étudier ne seraient pas les plus généraux.

C) Ces symboles de Gliristoffel sont naturellement calculés dans l'espace ^, ceux de l'espace C étant tous nuls avec le système de coordonnées choisi.

CHAPITHE V. — ESPACES RIEMANNIENS A H DIMENSIONS. 12 1

Pour cela, reprenons la formule

dy? ây9 __ dx'' àjT''

que nous venons d'établir et prenons la dérivée partielle de ses deux membres par rapport à la variable x'

ô.r> à.r' dr" dx>' â.T" à.r' ~ Ox'

Nous obtiendrons deux formules analogues en permutant dans cette dernière soit les indices r et t. soit les indices 5 et ^. A l'aide (le ces trois formules, nous formerons sur les seconds membres la combinaison

:>. \ dx" ôx'' dx* '

définissant le symbole de (^hristolFel et nous obtiendrons

immédiatement la formule que nous avions en vue

[/■ ■$] à'^ y? dy^ t \~ ôx' dx" dx'

90. Variété linéair* tangente à l'espace S^ en un de ses points. — Considérons un point P de l'espace M déterminé par ses coordonnées x^\ ce point aura aussi des coordonnées jP dans l'espace »L. Donnons aux œ^ de petits accroissements, le point P passera dans une position voisine P' de coordonnées x^ -}- dx^ dans cR et j>'? -h dy^ daus C. Dans l'espace c les quantités dy9 définissent un vecteur infiniment petit, nous conviendrons de dire que ce vecteur a pour composantes dans V espace A les accroissements dx'. Entre ces deux systèmes de composantes il existe naturellement les relations

Supposons maintenant que nous substituions aux dx' eiauxdyP des quantités finies 5' et yjP qui leur soient proportionnelles; les quantités riP définiront dans l'espace v^! un vecteur PQ qui sera dit tangent à l'espace M au pointV et nous regarderons lés ?* comme les composantes de ce vecteur rapporté à l'espace SI lui-même.

Entre ces deux sortes de composantes, il y a naturellement les

l'il CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.

relations

Dans ces formules les quantités $' peuvent être prises arbitrairement et si on leur donne toutes les valeurs possibles, l'extrémité Q du vecteur (PQ) décrit dans l'espace C un sous-espace euclidien à n dimensions qui sera dit variété linéaire tangente à l'espace SK.au point P.

Longueur d'un vecteur tangent, — La longueur du vecteur (PQ) est naturellement égale à

mais elle peut aussi s'exprimer à l'aide de ses composantes dans l'espace SI et un calcul immédiat, basé sur l'emploi des formules ( i ) , lui donne encore la forme

Angle de deux vecteurs tangents à A au même point. — Soit (PQ') un second vecteur tangent en P, de composantes \'^ dans A et iri'P dans vl^. Un calcul analogue transformera la formule donnant le cosinus de l'angle des deux vecteurs dans l'espace euclidien

/ /' cos V = rjpTj'P

(/ et /' étant les longueurs des deux vecteurs) en la suivante exprimée à l'aide de leurs composantes dans l'espace S{.

li'ùOS\ = gik^i^'f^.

91. Variété linéaire normale à l'espace A en un de ses points. — Soit (PR) un vecteur issu du point P, dans C^ et de composantes |3p par rapport à cet espace. Nous dirons que ce vecteur est normal en P à V espace A s'A est orthogonal à tous les vecteurs tangents à c'R. issus de P. Prenons un tel vecteur tangent (PQ) de composantes r\9 dans c" et ^^ dans c'Fl, liées par la relation