CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A 71 DIMENSIONS
La condition d'orlhogonalilé des vecteurs (PR) et (PQ) s'écrit
OU encore
RP dx
pp^ï'=<'-
Le vecteur (PR) sera normal si cette condition est remplie quel que soit le vecteur (PQ), c'est-à-dire quelles que soient ses composantes ;', ce qui entraîne
Ces relations forment un système de n équations linéaires entre les ni quantités j3p. 11 y a donc une infinité de vecteurs normaux dont les extrémités décrivent un sous-espace euclidien km — n dimensions dit vaiié té linéaire normale à V espace Si au point P.
Application. Projection d'un vecteur issu de P dans V espace C sur la variété linéaire tangente en P à V espace Si. — Soit (PR) un vecteur quelconque de l'espace *!^, de composantes pP. Nous appellerons projection de ce vecteur sur la variété linéaire tangente en P à r'R un vecteur tangent (PQ) tel que le vecteur différence (PR) — (PQ) soit normal en P à l'espace Si.
Soient Y,P et Ç^ les composantes du vecteur ( PQ) dans C et dans Si , la condition d'orthogonalité s'écrira
ou encore, en remplaçant les 7|P en fonction des l' et en utilisant la formule ( i ),
^ dx' dxi dxi^ ^"^ '
On en tire enfin, par multiplication par g^^ suivie de contraction, les valeurs des composantes dans l'espace A du vecteur projection
92. Variétés de Pespace riemannien. Courbes. — Si les coordonnées X' d'un point P de l'espace Si sont des fonctions de/? para-
mètres essentiels {p<^n), l'ensemble des positions de ce [)oint, quand les paramètres prennent indépendamment l'un de l'autre toutes les valeurs possibles, constitue une variété à p dimensions de cet espace. 11 est évident que cette variété fait aussi partie de l'espace c et elle pourra j être étudiée directement, sans passer par l'intermédiaire de cR. Il suffira pour cela de remplacer la forme quadratique g-i/ç dx^ dx^ par la. forme quadratique relative à la variété comme nous l'avons déjà fait au Chapitre précédent pour les variétés de l'espace euclidien {voir n** 72) (*).
Les plus simples des variétés sont celles à une dimension que nous appellerons encore courbes.
En particulier, si le paramètre unique / varie entre deux limites /o et /<, le point P décrira un arc de la courbe totale, arc dont la longuenr sera la valeur de l'intégrale
r'' / dx' dx'^ ,
Cette longueur pourra du reste être affectée d'un signe si l'on a pris soin au préalable d^orienter la courbe, comme nous l'avons fait dans l'espace euclidien.
93. Étude des courbes de Pespace Si. Courbure géodésique. — Toute courbe de ^ est susceptible d'être étudiée directement dans l'espace C', nous pourrons y définir en particulier sa normale principale en un point quelconque que nous appellerons normale principale absolue et qui sera déterminée par le vecteur (PN^) de composantes —p^ •
Le vecteur ( PNr), projection de (PN«) sur la variété linéaire tangente en P, a pour support une droite qui sera dite la normale principale lelative en P à la courbe considérée. Les composantes $* du vecteui' (PJNr) dans l'espace K sont immédiatement données par la formule (5) qui prend alors la forme
. . ., dy? d'^ vp
" dxi ds^'
(') Le Jecteur pourra clémonlrer sans peine, par un calcul direct, que cette forme quadratique relative est indépejidante du système des coordonnées a;' choisi dans l'espace <'R pour la former.
