CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A fl DIMENSIONS

Ces composantes s'expriment facilement en fonction des seules données dans l'espace A, on a en effet

(fy? ây? dx' ds ôx' ds

et par suite

d"^ y? ôy9 d^x' d^ y? dx' dx'

ds^ dx' ds- ()x' ôx'' ds ds

., OyP Ov? d^x' -fàyP d^ y? dx' dx'-

Ç/c =z 1^-' '"' "^ + fi' — —

^ ôx' dx' ds* dx' ôx' dx'' ds ds

rrl k or ■ I

b f^ Il

dx' dx'

ds ds

dsd'après les formules (i) et (2), ou endn

y, d'^x'^ \ / r I dx' dx''

^ ^ ^ ds-^ ( k \ ds ds

Le vecteur (P^J^) est parfaitement déterminé par ces formules; il en est alors de même de la normale principale relative sauf dans le cas où toutes les composantes ^^ seraient nulles. Pour une courbe quelconque, cette particularité peut se produire en quelques points remarquables, mais elle se présente en tous les points d'une f?i^odésique qui apparaît ainsi, de même que dans la théorie des surfaces, comme une courbe dont la normale principale absolue est normale à la variété sur laquelle elle est tracée ( ' ).

On vérifie facilement, par un calcul direct, que la normale principale relative est perpendiculaire à la tangente; ceci revient du reste à énoncer pour l'espace C le théorème suivant, analogue à un théorème bien connu de la géométrie classique : la projection d'un angle droit sur une variété linéaire contenant un de ses côtés est encore un angle droit.

Les composantes a'' d'un vecteur unité porté par la normale

principale relative seraient proportionnelles aux quantités $', on

peut donc poser

(') Nous avons laissé de côlé le cas où la normale principale absolue est ellemême indéterminée ; la courbe est alors une droite de l'espace C et elle se présente du reste encore comme une géodésique de l'espace »R. Nous avons de même laissé de

côté le cas où, en certains points de la courbe, les —rj- seraient tous nuls et où

il faudrait faire appel à des dérivées d'ordre supérieur pour déterminer Ja normale principale absolue.

I'i6 CALCUL TBNSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

le facteur de proportionnalité R' étant tel que gika'^a'^=^ \ ^ ce qui donne

Ce nombre R' s'appelle le rayon de courbure gëodésique de la eourbe au point P. Si la courbe est une géodésique, ce rayon de courbure est infini en chacun de ses points.

Il j a entre ce rayon de courbure géodésique R' et le rayon de courbure absolu R (défini dans l'espace C) une relation très simple. En effet, la longueur du vecteur (PN^) est évidemment ^,

celle du vecteur (PN^) est — j on a donc

(B) ^cgsPnITpN.^^, (1).