CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A n DIMENSIONS. 12J

gonalement sur ta variété linéaire tangente en P. Les vecteurs des deux variétés que cette transformation amènera en coïncidence seront alors regardés comme correspondants.

De façon un peu plus générale, soient deux vecteurs (PQ), de composantes (Yi?, Ç'), et (P'Q'), de composantes (ïj'P, Ç'^),pris dans chacune des deux variétés tangentes; transportons (P'Q')par une translation en (PQ^) et projetons-le en (PQ2) sur la variété tangente en P'; nous allons calculer les composantes a' (dans ^) du vecteur différence (PQ',) — (PQ)-

JNous mènerons le calcul en regardant les accroissements dx^ comme des infiniment petits dont nous négligerons les carrés et les produits.

Ceci posé, le vecteur (PQj) a pour composantes dans C les quantités r^'9.| sa projection (PQ^) sur la variété linéaire tangente a donc pour composantes dans ^ [form. (5)] les quantités

On aura donc pour les composantes a* cherchées

r on a

«' = ^^VP^^-ç^

c'est-à-dire au degré d'approximation mentionné

et ceci donne

d'après les formules (i) et (2).

D'où finalement

a^= ç't-f- j ^ /! f/fl'a:''- Ç^

(') L'accent indique que les dérivées ont leur valeur prise au point P'.

128 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉ0MÉTRIQUB8 ET MÉCANlQli^KS.

Si les vecteurs (PQ)et (P'Q') proviennent d'iiti champ continu de vecteurs, on peut poser

et les formules ci-dessus devienn^^ul. , toujours au même de^ré d'approximation,

En particulier, le vecteur (P'Q') résultera du déplacement parallèle du vecteur (PQ) si l'on a Tune ou l'autre des deux conditions équivalentes

(9) \^'ç'da:> = o,

(9') ^/r'-f- • ^ /'l^fdx''=o.

95. Formules du déplacement parallèle exprimées à l'aide des composantes coyariantes. — Les premiers membres des équations précédentes sont des systèmes tensoriels, par suite les règles de l'abaissemenX de l'indice permettent de les écrire

(10) ArÇjrfj?'=0,

c'est-à-dire, sous forme explicite,

cfh

\i dx' = o,

équations qui serviront à définir le déplacement parallèle lorsqu'on voudra opérer sur les composantes covariantes du vecteur.

Conséquence. — Le produit scalaire de deux vecteurs reste constant si ces vecteurs sont soumis à un même déplacement parallèle.

En effet, ce produit scalaire peut s'écrire $'?J; dans le déplacement parallèle il subit l'accroissement

et l'on s'aperçoit immédiatement que cet accroissement est nul si l'on j remplace les d\^ et dll^ par leurs valeurs tirées des formules (9') et (10').