CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A n DIMENSIONS

En particulier, la longueur d'un vecteur reste constante et il en est par suite de même de l'angle de deux vecteurs quelconques.

Ces propriétés ne sont naturellement vraies qu'en négligeant les infiniment petits du second ordre; on peut donc dire qu'à cet ordre d'approximation, le déplacement parallèle a tous les caractères d'un déplacement euclidien.

En toute rigueur du reste, la correspondance que nous avons ainsi établie entre les variétés linéaires tangentes en P et en P' est une correspondance affine, c'est-à-dire une homographie conservant les éléments à l'infini. Il s'ensuit que l'opération du déplacement parallèle est permutable avec l'opération de l'addition des vecteurs et avec celle de la multiplication d'un vecteur par un nombre.

96. Le déplacement parallèle et les géodéçiques, — Le déplacement parallèle a aussi un lien très naturel avec les lignes géodésiques. Si nous considérons en effet un vecteur unité porté par la tangente à une telle courbe, il aura pour composantes contrevariantes les quantités

et les équations différentielles des géodésiques [voir form. (9), Chap. II] montrent précisément que ce vecteur progresse par déplacement parallèle le long de la courbe.

Ceci établit un lien de plus entre la géodésique d'un espace quelconque et la droite de l'espace euclidien qui est la seule courbe d'un tel espace dont la tangente se déplace par translation.

Une autre conséquence immédiate de cette propriété est que si l'on déplace parallèlement un vecteur en faisant décrire à son origine une géodésique, l'angle qu'il fait avec la tangente à cette courbe reste constant.