III. - COURBURE D'UN ESPACE RIEMANNIEN

97. Généralités. — Nous avons déjà rencontré les équations (9) dans le Chapitre précédent où elles caractérisaient, pour n\\ espace euclidien, les conditions d'un déplacement par translation.

l3o CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

Nous y avons du reste (lômoiitré qu'elles formaient alors un système d'équations aux difT'érenlielles totales complètement intégrable et que par suite, en soumettant un vecteur à un déplacement parallèle le long d'une courbe de longueur finie, sa position finale ne dépendait que du point d'arrivée et de la position initiale du vecteur. Ceci était du reste évident a priori, mais, inversement, nous y avons montré également que ces conditions d'intégrabilité complète (qui se traduisent par la nullité du tenseur de Riemann-CIiristolFel) étaient suffisantes pour que l'espace soit euclidien.

Pour un espace riemaniiien, au contraire, lorsqu'on transportera un vecteur d'une position à une autre, en le déplaçant parallèlement de proche en proche, Je résultat final dépendra essentiellement de la trajectoire de l'origine du vecteur et par suite nous ne pourrons pas parler sans plus de deux vecteurs parallèles en des points non infiniment voisins. En particulier, si' cette trajectoire est une courbe fermée, le vecteur, dans sa position finale, fera un certain angle avec sa position de départ. Cet angle caractérise en quelque sorte la façon dont l'espace Si s'écarte de.la variété linéaire tangente, c'est en somme une courbure de V espace et c'est cette notion que nous nous proposons de préciser ici.

Mais, avant d'aller plus loin, nous dirons quelques mots du cas des surfaces, c'est-à-diredes espaces riemanniens àdeux dimensions.

98. La courbure totale des surfaces et le déplacement parallèle. — Si l'on cherche à étendre la notion de courbure d'une courbe gauche au cas d'une surface, on est amené à considérer comme naturelle l'extension suivante (^). Par un point O quelconque de l'espace, on mènera des parallèles aux normales à la surface en ses difïerents points P, on portera sur ces droites des segments O/?, de longueur égale à l'unité, dans un sens arbitraire soumis à la seule restriction que le point/? se déplace d'une façon continue en même temps que le point P (-)•

( ' ) La fyçon de procéder que nous allons indiquer n'.est du reste pas la seule, il est d'autres extensions qui conduiraient au contraire à la courbure moyenne. ( Voir Darbolix, Leçons sur la Théorie générale des surfaces^ t. II, p. 363.)

(-) Nous supposons naturelle nient ici que nous ne considérions qu'une portion de surface assez pélite pour (|u'on puisse dans tous les cas en distinguer les deux côtés.