CHAPITRE V. — ESPACES RIE.MANNIENS A 11 DIMENSIONS. l3l

On établit ainsi une correspondance par plans tangents parallèles entre les points de la surface et ceux de là sphère de rayon unité sur laquelle se déplace le poini p.

Prenons maintenant un élément de la surface, d'aire d'S er limité par une courbe (C); quand le point P coïncidera successivement avec tous les points de celte aire, le point /> décrira une certaine portion de la sphère d'étendue d^ limitée par um courbe (y) correspondant à (C). Il sei-a iialurel d'appeler courbure de la surface en P la limite du ra|)[)ort y^ lorsque la courbe (C' devenant de plus en plus petite dans toutes ses dimensions seréduira au point P.

A première vue, cette définit ion de la courbure paraît intimement liée à la notion de l'espace à h-ois dimensions dans lequel se trouve la surface, mais il n'en est rien et nous allons montrer ce fait remarquable que la courbure ainsi définie peut être décelée par des êtres habitant la surface et n^ ayant aucune idée de ce qui peut se passer en dehors d elle.

Nous retrouverons ainsi le classique théorème de Gauss montrant que la courbure totale s'exprinie uniquement à l'aide des coefficients de la forme quadratique donnant le ds- de la surface.

11 nous suffira, pour justifier cette affirmation, de démontrer que Faire dn est égale à la variation angulaire que subit un vecteur tangent à la surface donnée et déplacé parallèlement d'un tour complet le long de la courbe (G).

Supposons en olï'et que nous attachions à chaque point P de la surface un vecteur tangent (PQ) et menons par le point corres- [)ondanl p de la représentai i(Mi sphérique un vecteur équipal- [enl ( pq); il est évident, en vertu du parallélisme des plans tangents, que, si le vecteur (PQ j subit un déplacement parallèle sur la surface, le vecteur (pq) subit aussi un déplacement parallèle sur la sphère.

Etudions donc le déplacement parallèle sur la sphère. Nous rapporterons celle-ci à un système d'axes rectangulaires ayant son centre pour origine et à des coordonnées géographiques 0 et cp (colatitude et longitude).

Pour être d'accord avec les notations employées jusqu'ici nous devons donc poser

l.'Ja CALCUL TENSORTEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

L'élément linéaire de la sphère prend alors la forme

Un calcul très simple, que je ne reproduis pas, permet de trouver les symboles de Ghristoffel de deuxième espèce qui ont pour valeurs

^ = — sin 0 co?0, i y \

Les formules définissant le déplacement parallèle d'un vecteur de composantes contrevariantes Ç* et ^^ (relativement à la sphère) prendront alor§ la forme

â^^i— sinGcose ^2<^cp = o,

û?Ç2, colg8(^i (icp + Ç2 <;0) = o.

A la place des composantes contrevariantes ?* et 5^, introduisons les mesures algébriques K et Y des projections du vecteur sur la tangente au méridien et sur la tangente au parallèle qui se croisent en P (les sens positifs de ces courbes étant respectivement celui des 9 croissants et celui des cp croissants). D'après les formules (6) du Chapitre III on aura

\ = Ç2sin&.

Les équations du déplacement parallèle deviennent alors

^X — Ycoserf© = o,

d\ -h X CCS 6 (^(p = o.

Oh vérifie immédiatement qu'elles admettent l'intégrale

X2-hY2=/2

qui exprime la conservation de la longueur du vecteur, ce que nous savions déjà. Nous pourrons donc poser

X=/cosw, Y=/sinw,

CHAPITUE V. — ESPACES RIEMANVIENS A n DIMENSIONS, l33

w étant l'angle du vecteur avec la tangente orientée au méridien du point P (').

Les deux équations précédentes se réduisent alors à une seule

(iw H- cosO c/o = o.

Supposons maintenant que le point/? décrive un contour fermé ( y) n'entourant pas l'axe O z,, la variation totale de co, c'est-à-dire l'angle dont aura tourné le vecteur, sera fournie par l'intégrale

Wj 0)0 = — / cosôo?^.

Or, un calcul tout élémentaire montre que, dans un petit déplacement du point/?, l'arc de grand cercle A.p balaye une aire dont la mesure est à des infiniment petits du second ordre près égale à (i — cos ^)d(D.

La somme algébrique des aires balayées par cet arc de grand cercle, lorsque le point /? décrira tout le contour (y), sera égale à l'aire intérieur à ce contour (comptée positivement si le mouvement du point/? a lieu dans le sens des rotations positives, négativement dans le cas contraire) ; cette aire aura par suite pour mesure l'intégrale

f Ci — cos6)û?<f = — C cosO^® (2).

Ainsi se trouve bien démontrée l'affirmation que l'angle dont a tourné le vecteur est égal en grandeur et signe à Faire incluse à l'intérieur du contour (y) (3).

En prenant sur la surface comme sens des rotations positives le sens correspondant à celui choisi sur la sphère, des êtres habitant

(•') Nr>us choisissons comme sens des rotations positives sur la sphère celui qui awïèrférait par une rotation de - la tangente positive T, au méridien sur la tangente positive T3 au parallèle.

(') Ce fait résulterait aussi immédiatement de la transformation de l'intégrale curviligne en intégrale double à l'aide de la formule de Green. {Cf. Bol- MGAND, Leçons de Géométrie vectorielle, p. 256.)

(^) Il est à remarquer ici que cette formule est établie en toute rigueur et que nous n'avons pas eu besoin de supposer que le contour (y) était infiniment petit. Le lecteur vérifiera ^ans peine que la restriction que nous avons imposée à ce contour de ne pas entourer l'axe Oz peut être levée facilement.

la surface pourront ainsi mesurer algébrififuement, sur elle seu^ lement, les quantités <iS et da et par suite déterminer le nombre relatif qui en caractérise la courbure en chacun de ses points. On vérifie du reste immédiatement que le signe de cette courbure est indépendant du sens conventionnellement choisi comme sens des rotations positives.

Remarques. — i ° Il n'est peut-être pas inutile de montrer sur un exemple frappant combien le point de vue peut se trouver changé suivant que l'on considère la surface seule ou l'espace complet dans lequel elle se trouve. Déplaçons le long d'un grand cercle de la sphère un vecteur tangent de longueur constante restant orthogonal à ce grand cercle; il est évident qu'on définit ainsi un déplacement parallèle sur la sphère. Or, un observateur de l'espace à trois dimensions regardant la surface sera tenté de dire qu'après un tour completle vecteur fait un angle nul avec sa position de départ, tandis qu'un observateur placé sur la surface le regardera, en vertu des considérations établies plus haut, comme ayant tourné de 2::.

2® En particularisant le contour (G), on peut encore obtenir un résultat intéressant. Choisissons en effet pour ce contour un petit triangle formé de trois arcs de géodcsiques et soient A, B, G les mesures arithmétiques de ses angles. On vérifie facilement qu\in vecteur décrivant par déplacement parallèle les côtés du triangle dans le sens des rotations positives aura finalement tourné d'un angle égal à A -h B -(- G — -. On obtiendra donc la courbure totale de la surface en formant le quotient de cet « excès sphèrique » A -h B -h G — t: par Caire du triangle et en supposant que ce dernier.^ de^^enani de plus en plus petit dans toutes ses dimejisions^ se réduise à un point. Gette proposition- était déjà connue de Gauss.

99. Variation subie par un vecteur déplacé parallèlement dans un espace riemannien le long d'un contour fermé très petit. — Revenons à F espace riemannien à n dimensions et soient, en un de ses points P„, deux vecteurs tangents de composantes conirevariantes (dans<:H) a' et a'. Ges deux vecteurs définissent un élément linéaire à deux dimensions \\ inclus dans la variété linéaire