CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A n DIMENSIONS. l

tangente en P. Supposons maintenant qu'un point P de l'espace K décrive un arc de courlje PqP) très petit situé sur une surface tangente en Pq à l'élément ; nous pourrons supposer que cet arc est tracé sur l'élément lui-même. Attachons au point P un vecteur de composantes ^^ se déplaçant parallèlement et proposons-nous de calculer les variations des quantités S' dans le trajet PoPj. Nous supposerons, ce qui n'est évidemment pas une restriction, les coordonnées du point Pq nulles et nous désignerons par z le maximum du module de l'ensemble des coordonnées x'- du point P le long de l'arc PoPt •

Dans un déplacement infiniment petit du point P, les \'- subissent les accroissements

^^k ^ '' ^ [ }:/• (jnr!^

ciq — I '/■ \ • '

Pour le déplacement total PoPn nous aurons donc

Ce sont là des équations intégrales qui pourront fournir les valeurs des ç' au point P,, en fonction de leurs valeurs au point Pq.

Nous les résoudrons par approximations successives, en ne gardant que les termes du premier et du second ordre en e.

Nous aurons par suite (* )

D'où

ç/f 5/.-' ^^ * tr r ^/^s

r '«^ VO) ./n p

} k \ \r ij \t s I

Oxi I t \ { k \

J(0) Jp^p^

(^les quantités H, H , H" restant bornées en module le long de l'arc d'intégration).

i (^) Les quantilés sans indice sont relatives au. point courant P, celles affec- ; lées de l'indice zéro, relatives au point P^,

l36 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MKCANIQUES.

Si, en particulier, l'arc PoP^ forme un contour fermé (C), en négligeant les infiniment petits du troisième ordre et en supprimant l'indice zéro devenu inutile, nous aurons pour les variations du vecteur après un tour complet les formules

oÇ^- =

\r si ) k \

Ç'' f oci

dx^.

En permutant les indices i et s et en remarquant que

/ 0?' dœ^ = — I x" dx',

on peut écrire cette formule sous la forme suivante

Les intégrales curvilignes qui figurent au second membre définissent en grandeur et orientation l'aire intérieure au contour (G), elles sont proportionnelles aux quantités

et l'on a, en appelant <5S la mesure de cette aire,

x^ ax^ — x^ dx^ = — : — >

en posant

A2= -gihi^ki^'''^'''.

Si nous supposons, comme nous le ferons par la suite (et cela du reste uniquement pour simplifier l'écriture des calculs qui vont suivre), que les vecteurs (a) et (a') ont pour longueur l'unité, A est alors égal au sinus de leur angle V.

On a donc la formule définitive

oS

"^^'ris^'

Le produit intérieur du vecteur (oÇ) par un autre vecteur quelconque ($') prend alors la forme

i ïtt.