CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A fl DIMENSIONS. iSj

OU encore

Il en résulte en particulier l'orthogonalité des vecteurs (?) et ((5?), ce qui correspond au fait que le déplacement parallèle ne modifie pas (à des infiniment petits du second ordre près) la longueur du vecteur (' ).

103. Courbure de l'espace c^ suivant Porientation FI. — Si nous prenons pour le vecteur (Ç) un vecteur de l'élément linéaire II [le vecteur (a) par exemple], après un tour complet le long du contour (G) ce vecteur aura subi un accroissement (ôot) dont les composantes seront données par les formules (i i).

En général, le nouveau vecteur (a) -|- (ôa) sera sorti de l'élément n, nous l'y ramènerons par une projection orthogonale et nous mesurerons l'angle èi que fait cette projection avec la position initiale (a) du vecteur. Nous diippeWerons coarbiue de [^espace Jl

suivant Vorieniaiion II le rapport r^ (ou plus exactement sa

limite quand le contour (G) se réduit à un point).

Indiquons rapidement le calcul de cette courbure; le vecteur (a)-f-((5a) étant très voisin du vecteur (a), sa projection sur l'élément II en sera également très voisine et nous pourrons l'éoi*ire sous la forme

les coefficients numériques A et jjl étant très petits et tels que le vecteur différence

(a)-+-(3a) -[(a)-|-X(a)H-Ht(a'')]

soit orthogonal à cet élément, c'est-à-dire aux deux vecteurs ii.') et (a') qui le déterminent.

(') La présente démonstration de la formule (ii) est due à M. Pérès [Le parallélisme de M. Levi-CLvila et la courbure riemannienne {Rendiconti délia R. Accademia dei Lincei, vol. XXVIII, 1919 ; p. 425)]- La plupart des auteurs donnent généralement une démonstration où le contour (y) est un parallélogramme ; il y a cependant lieu de signaler une autre démonstration générale de M. P. Dirtnes [Sur l'intégration des équations du déplacement parallèle de M. Levi-Civita {Rendiconti di Palermo, t. XLVII, 1928 )]>

l38 CALCUL TENSORIKL. APPLÏCATlOxVS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

En explicitant ces conditions, on trouve pour \ et a les deux

équations

1 X H- a cos V = o,

I X cos V -+- |JL = ~ R,tris^'"^"

(V désignant comme plus haut l'angle des vecteurs (a) et (a'), supposés de longueur i ).

D'autre part, un calcul direct ou bien des considérations géométriques simples (') donne facilement, en se bornant aux parties

principales,

0£ = [Ji sinV.

En tirant la valeur de m des équations (i3), on obtient pour la courbure riemannienne suivant l'orientation II

Oc Hnris<y^'''<y''

D'après la symétrie droite ou gauche des composantes g i^ et 0-'''^, cette courbure peut xnicore s'écrire sous la forme

et*- l'on vérifie immédiatement qu'on peut limiter les sommations aux valeurs des indices telles que l'on ait

fi < /• et i <C s.

Dans le cas d'une surface, la définition générale que nous venons de donner se confond évidemment avec la notion classique que nous avons rappelée plus haut, et l'on trouve alors pour la courbure totale la valeur

.-^'11 rt22

[ffnV

ce qui s'exprime bien on fonction les seuls coefficients E = « ,, ? F =^12, G = ^22 du ds' de la surface (2).

(•) Il suffit d'écrire la relation des sinus dans le triangle déterminé par le point P et les extrémités des deux vecteurs (a) et (a)-f->k (a)-|-|x (a').

(') En particulier, si la surface est rapportée à ses lignes de longueur nulle (E = G =0), on trouve immédiatement l'expression bien connue de la courbure totale sous la forme

" F ôudv '