CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A n DIMENSIONS. I Sg
101. Coordonnées normales de Riemann. — Nous venons de voir le rôle essentiel joué par le tenseur de Riemann-Ghristoffel dans la définition générale de la courbure. Ce tenseur caractérise ainsi la façon précise dont l'espace ^ s'écarte de la variété linéaire tangente en l'un de ses points. Ce fait peut encore être mis en évidence, sous une forme également frappante, par l'emploi d'un système de coordonnées particulier, dû à Riemann, et dont on peut dire qu'il est celui qui se rapproche le plus, au voisinage d'un point donné, d'un système cartésien.
Considérons un point Pq de l'espace A, de coordonnées x'^^ dans un système quelconque, et un vecteur (^), de longueur égale à i, tangent en Po à ciJl et de composantes contrevariantes ^^ Il existe une géodésique issue de Po et tangente à (;) et la direction de ce vecteur permet aussi d'orienter cette courbe. Soient alors P un point de cette géodésique et s la mesure algébrique de l'arc PoP; nous appellerons coordonnées riemanniennes normales du point P les quantités
Ici — s ^i.
La donnée numérique des n composantes $' (reliées naturellement par l'équation ^ /A; 5*^* = i) définit ainsi une telle géodésique issue de Pq et le long de cette courbe on aura
dx' ^. d*'xi d^x'
Si nous écrivons maintenant que les deux premières de ces dérivées vérifient les équations difTérentielles générales des géodésiques, nous obtenons les relations
Ces relations sont identiquement satisfaites tout le long de la
géodésique considérée; en particulier, elles le sont au point P^ et
comme nous aurons en ce point des équations analogues pour
toutes les géodésiques qui en partent, on conclut immédiatement
que l'on aura
l4o CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MÉCANIQUES.
La nullité en Pq des symboles de deuxième espèce entraîne évidemment la nullité des symboles de première espèce et par suite celle des dérivées partielles premières des coefficients gif(.
Le système riemannien est donc un système géodésique au sens du n** 54. Ce n'est du reste pas lin système géodésique quelconque ; il existe en effet entre les valeurs au point Pq des dérivées d'ordre
supérieur des gtk des relations qui n'existeraient pas pour un système géodésique quelconque et que nous allons du reste établir pour les dérivées secondes.
Puisque les équations (i5) sont identiquement satisfaites tout le long de la géodésique PqP, nous obtiendrons de nouvelles identités en en prenant les dérivées par rapport à 5, ce qui donne
Ces identités ont lieu en particulier au point Po et cela du reste pour toutes les géodésiques partant de ce point, c'est-à-dire quels que soient les Ç*, ce qui entraîne immédiatement les conditions
')x' J (0) L dx'' J (0) ,. L c/x' J (0)
En les multipliant par (^tA:)(o) ^^ ^^ tenant compte du fait qu'au point Pq les dérivées des gik sont nulles, ces relations s'écrivent encore
l'ivi
L dxi
ôx''
dx^
Explicitons-lès et posons pour abréger l'écriture
Cl i kl m =
^ôx' ôx"r elles deviendront
(17) 2[«/.7-</+ Clialr-^ Ctklrl] = Clvtlk^ Cltlrk-^ <^lrtk^
en tenant compte des conditions évidentes de symétrie
O-iklm— Clikml— <^kilni
