CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIEN8 A fl DIMENSIONS. l4l

Telles sont les conditions existant entre les dérivées secondes des giff au point Pq. On peut du reste les transformer et en tirer une condition de symétrie remarquable.

Écrivons l'identité (17) sous la forme

permutons-j les indices A" et /' et ajoutons les deux égalités ainsi obtenues membre à membre, le résultat s'écrit facilement sous la forme

Or le premier membre A -h B ne change pas si l'on y permute simultanément les indices t et r et les indices l et k, il s'ensuit qu'on doit avoir

et par suite aussi séparément

c'est-à-dire

Clkrlf-^ CC/^th--^ <^klrt= O.

Ceci posé, si nous développons les coefficients gifi au voisinage du point Po par la formule de Taylor, en ne gardant que les termes d'ordre au plus égal à deux par rapport aux coordonnées du point P, le ds- de l'espace A en ce point prendra la forme

ds^ = Is'ikliQ) dx^ dx'^-^ — 'aikrtx^'oc^ dx^ dx^ ,

Nous poserons

Aar2 = — - aïkriX'' x*^ dx^ dx^^ ^

et cette forme quadratique caractérisera, à des infiniment petits du troisième ordre près par rapport à la dislance PqP, l'écart entre la métrique de l'espace SK. et celle de l'espace euclidien qui lui est tangent en Pq. Ao-^ s'appelle la forme de courbure et il est facile de transformer son expression en y faisant intervenir les valeurs au point Pq des composantes du tenseur de Riemann-Ghristoffel.

En effet, les relations que nous avons établies entre les coefficients aiMm nous permettent d'écrire

— 7 0.ikrt = —71. f^ikrt + anik — ttirik — <^tirk J

l \J. CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.

OU encore

«/// ' ~- — K///,. ,0 H ( CfaV,/- — Cltkir)

\rolr ïonn. (:i()'), Chaj). Il, en lenant compte naturellement du fait que les symboles de Christofrel sont nuls au point P,,].

En portant ces valeurs dans la forme quadi'atique Acr- et en remarquant que les coefticieuts provenant de la parenthèse du second membre de la dernière formule se détruiront deux à deux dans les sommations, on obtient

En permutant les indices muels t et t, en remplaçant \i' par la demi-somme des deux valeurs ainsi tiouvées et en répétant celte opération sur les indices muels /* et /, , on trouve enfin

Acr2.r. \ I KtikX^yv' r/7' — 7' (h-t) i'^'^- cG> — 7'- d7n .

Les quantités .r' sont en réalité les différences des coordonnées d(^s points V et Py (puisque les coordonnées de ce dernier point

ont été supposées nulles), si nous les appelons désormais oj?', nous avons

(' 20 ) Aa2 = -I I '^li,,,. I 0, (' hJt ^~> 5~/ J^.t ) ( Ô J/c dxi — Ô.7'' cû'- ) ,

et At- apparaît donc comme une forme quadratique des composantes ùx^- dx^ — o.r' dx^ du tenseur symétrique gauche représentant l'élément de surface défini par les deux déplacements de composantes dx^ et ùx' .

La courbure au point \\ suivant l'orientation de cet élément est alors le quotient delà forme de courbure par l'aire de l'élément en question.