CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A n DIMENSIONS. l4i

a étant une constante numérique, positive ou négative. La courbure de l'espace est alors indépendante à la fois du point où on la considère et de l'orientation suivant laquelle on la mesure (').

Sans vouloir étudier à fond cette question des espaces riemanniens à courbure constante, nous allons en indiquer sommairement deux exemples simples.

102. Espace sphérique et espace elliptique. — l?reiions comme espace è' un espace euclidien k n-\-\ dimensions, rapporté à des coordonnées cartésiennes normales yP, et comme espace <^R. contenu dans le précédent la multiplicité d^équation

qui est une extension toute naturelle de la notion de sphère.

(•) Schur de montré que la seconde de ces conditions entraînait l'autre, c'est-àdire que si la courbure était en tout point de l'espace indépendante de l'orientation, elle avait nécessairement la même valeur numérique en tous les points.

La démonstration en est du reste très simple. Si la courbure est indépendante de rorientalion, on a en elFet

R/i/Vi- = a ( gliigrs — Shs Sri ) ,

a étant une fonction des coordonnées du point considéré. On aura donc

Uh . z= rrl frh <r o-/' <r .\ '

** ris * V tt i © /s o s n ri ) > d'où par conséquent

R//= ^''rlh = — {n — i) a o-,..

ou encore

puis par une nouvelle contraction

De ces formules nous lirons immédiatement

Or, nous avons démontré dans un Chapitre antérieur | forni. ( .J7 ), Cliap. Il | l'identité

qui entraîne immédiatement ici comme con.sé([ucnce (les «as de // = i et // = » étant évidemment hors de cause)

flr'

La fonction a ayant en tout point toutes ses dérivées partielles premières nulk? est donc une constante.

l44 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MÉCANIQUES.

Pour trouver un système de coordonnées curvilignes dans Fespace Ji, il nous suffira de projeter à pari;ir d'un point fixe les points de la sphère sur un plan fixe et de prendre comme paramètres les coordonnées dans ce plan du point projection.

i** Nous choisirons d'abord comme point de vue le point A de coordonnées

et comme plan de projection, le plan d'équation

ytl-hl j ^^

Ceci posé, la droite AM, joignant le point A à un point quelconque M (de coordonnées yP) de la sphère, coupera le plan en un point M' dont les coordonnées seront

Ljes n premières de ces quantités serviront de paramètres an poi^nt M et un calcul tout élémentaire nous donnera

et

en posant

On obtient alors d'après ces formules le ds^ de l'espace considéré sous la forme

(2i) ds'i= '-'

2" Prenons au contraire pour point de vue l'origine O des coordonnées et le même plan comme plan de projection; des calculs également simples nous conduiront à l'élément linéaire sous la forme

a'^^S.idxif aW ^ x^ dx'

(•22) ds- =

a2-^r2 (rt.2-+-/-2jî