CHAPITRE V. — ESPACES RIEMANNIENS A n DIMENSIONS. l

Bien qu'issus de la même représentation géométrique dans l'espace C, ces ds^ caractérisent des espaces de Riemann aux propriétés différentes. Dans le premier mode de projection, au point de l'espace de Riemann de coordonnées x^ correspond un et un seul point M de la sphère. L'espace riemannien est alors dit sp/iériqae.

Dans le deuxième mode au contraire, au point M' correspondent deux points Mi et Mo de la sphère, diamétralement opposés; autrement dit, dans ce cas, l'espace A n'est pas homéomorphe à la sphère S elle-même, mais bien à cette sphère dans laquelle on regarderait comme non distincts des points diamétralement opposés. On peut encore dire que l'espace cU. est homéomorphe à la variété formée de l'ensemble des droites (non orientées) issues du point O dans l'espace C (^). L'espace correspondant esldXovsàil elliptique.

(') En particulier, si l'espace cR. était à deux dimensions, le ds"^ sphéiique serait celui d'une sphère, au sens ordinaire du mot, c'est-à-dire d'une variété bilatère; au contraire, le ds"^ elliptique serait celui d'une variété unilatère. Nous aurons l'occasion de revenir sur ce sujet dans un Chapitre complémentaire.

APPKLL. — V. 10