I. — LA GÉOMÉTRIE DE WEYL

103. Le continu amorphe. — Dans l'élude que, nous vcuons de faire, d'après M. Levi-Givita, de la géométrie riemannienne, nous avons introduit dès le début la forme quadratique fondamentale définissant la distance de deux points voisins, d'abord dans l'espace ^', puis dans l'espace^. Or, il existe certaines propriétés de la multiplicité qu'on peut étudier avant lintroduction de la forme métrique.

Re[)reuous une multiplicité quelconque à n dimensions (c'està-dire un ensemble de points définis simplement par un groupe de valeurs de n variables x^). Soit M un de ses points, de coordonnées X*, donnons aiix variables des valeurs ^'' -f- dx'^ voisines des précédentes, nous dirons par définition que le nouveau point M' aiusi défini est voisin du premier. L'ensemble des deux points M et M', énoncé dans cet ordre, définira un (Hèment linéaire en ÎM ou encore un vecteur infinitèsimald origine M, vecteur que nous représenterons par la notation (MM'). Un tel vecteur sera entièrement déterminé par la donnée des coordonnées de son origine M et par ses composantes dx'. Dans un changement de variables (a?% a?'), les composantes du vecteur se transformeront par les formules linéaires et homogènes

dx^= x',. dx'\

(^) Les idées de M. Weyt ont été exposées par lui d'abord dans son Livre déjî» souvent cité : JRaum, Zeit., Materie (à partir de la troisième édition) et aus^i dans un Mémoire spécial : Reine In/initesimnl géométrie {Matheniatisckc Zeitschrift, Band 2, 1918, p. 384).

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formules dans lesquelles nous négligeons naturelle ntent les infiniment petits d'ordre supérieur au premier par rapport aux composantes du vecteur.

Les composantes d'un vecteur infinitésimal d'origine M forment donc un système du premier ordre contrevariant.

Si nous considérons un autre point M" dont les coordonnées soient x'--\- k dx'- (A étant un nombre relatif quelconque), les points M et M" définironi un jiouveau vecteur et nous poserons par ('onvention

(i) (MM") = X(MM').

Si nous considérons enliu deux vecteurs (MM|) et^MMo), issus de M et de composantes respectives dx^ et o:r', le vecteur (MM;^) de composantes dx^ -\~ùx'- sera dit la somme des deux premiers et nous poserons par convention

(2) (MM;j) ^(MMi)-f-(MAr/).

Il est évident que ces déiinitions, posées dans un certain système de coordonnées^ subsistent dans tont autre système.

Si nous substituons aux quantités infiniment petites dx^ des quantités finies \^ qui leur soient proportionnelles, nous dirons que ces dernières sont les composantes à\\nvecteur fini tangent en M à la multiplicité et nous pourrons évidemment appliquer à de tels vecteurs les procédés opératoires que nous venons de définir pour les vecteurs infinitésimaux.

Grâce à ces définitions, l'ensemble des nombres déterminant en un point de la multiplicité les composantes desTe<^curs tangents issus de ce point jouissent exactement des mêmes propriétés que l'ensemble des composantes des vecteurs (au sens ordinaire du mol) issus d'un point dans un espace euclidien. Ces propriétés, parmi lesquelles n'a pas encore pris place la notion de grandeur du vecteur, constituent la gromètrie affme ou encore la géométrie linéaire. Dans une telle géométrie- on peut bien parler dn rapport des longueurs de deux vecteurs ayant le même support, mais pas encore de la longueur d'un vecteur pris isolément ni du rapport des longueurs de deux vecteurs de directions différentes.

A chaque point de la multiplicité se trouve ainsi attachée une multiplicité affine de vecteurs tangents, mais rien ne relie les

multiplicités attachées à des points différents. Suivant le terme de M. Wejl, on en est au stade du continu amorphe [bares koniinuum).

104. Notion de connexion affine. — Considérons maintenant deux points voisins P et P' de la multiplicité, de coordonnées respectives x'- eX x'^ -^ dx^ \ nous nous proposons d'établir une correspondance entre les multiplicités affines tangentes qui leur sont attachées. La condition essentielle que nous imposerons à cette correspondance sera de respecter les lois établies au paragraphe précédent; autrement dit, si nous avons en P des vecteurs reliés par l'une des équations vectorielles (i) ou (2), les vecteurs correspondant en P' devront être reliés par des équations analogues. Il est évident qu'on réalise le type le plus général d'une telle correspondance par une homographie dans laquelle les origines P et P' se correspondent et qui conserve les éléments à Tinfini dans leur ensemble.

Nous regarderons alors deux vecteurs correspondants comme représentant le même vecteur déplacé parallèlem>ent d'un point à C autre (^) et nous emploierons (tout au moins au début et pour éviter toute équivoque) les notations suivantes : nous appellerons Ç^(P) les composantes du premier vecteur et ?'(P| P) celles du second, de façon à bien mettre en évidence la provenance commune des deux vecteurs et les conditions du déplacement.

La correspondance affine en question se traduira alors par des équations qu'on pourra toujours écrire sous la forme

(3) Ç'(P I P') = f'(r>) - g:,( p, p') Ç'-cp).

Les fonctions G',.(P, P) des deux points P et P' seront soumises en plus aux deux conditions suivantes :

I** Condition de continuité. — Si nous supposons que le point P' se confonde avec le point P, les deux vecteurs correspondants devront également se confondre; cette hypothèse se traduit évidemment par l'identité

(') Il est à peine ufilede faire remarquer que cette déiinition n'est rien d'aulre qu'une simple convention de langage.