CHAPITRE VI, — LA GÉOMÉTRIE DE WEYL
Si nous déveioppons les fonctions G',, au voisinage du point [\ nous pourrons alo^s écrire
(5) G.v(P, P') = rv..(P)^^'^- + ..., et les relations (3) prendront la forme
en négligeant toujours les infiniment petits d'ordre supérieur au premier.
2*^ Condition de conimutativité. — Appliquons en particulier l'opération du déplacement parallèle à un vecteur infinitésimal (PQ)de composantes ô^^ ; ce vecteur, déplacé parallèlement de P en P', y prendra les composantes
hxi—Y'^i.^ùx'' dx-\
et son extrémité Q', qu'on peut considérer (toujours au même ordre
d'approximation) comme faisant partie delà multiplicité aura pour
coordonnées
xi-\- dxi-+- 6JC' — r',., ^x>- dœ^.
Au contraire, déplaçons parallèlement de P en Q le vecteur PP' de composantes dx., les coordonnées de l'extrémité Q', du vecteur (QQ'i) ^iiisi obtenu seront de même
x^ -H rJx' H- dx^ — T[,.^ dx>- hx^.
Nous ferons l'hypothèse supplémentaire que les points Q' et Q', doivent coïncider (c'est-à-dire que la figure PP'Q'Q est un petit pai'alléiogramme). Ceci devant avoir lieu quels que soient les déplacements dx^ et Sx% cette condition se traduit par les relations
Les fonctions r',.^^ porteront le nom de composantes de la connexion affine ; sous la seule restriction de symétrie que nous venons de leur imposer, elles peuvent être prises arbitrairement dans un système déterminé de coordonnées.
Il est du reste facile d'établir les formules suivant lesquelles ces
(M Nous reviendrons plus loin, à propos des travaux de AI. Carlan, sur celle condition de commutativilé.
130 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.
coeflicients P',, se transformeront dans un changement de coordonnées.
Dans le passage d'un système de coordonnées x'- à un autre x'' y on aura en effet
et
?'(P I P') = 4(P') \HV 1 V) = [fÙP) -4- 4,(P) cFxi^ . . .]^^'(P I P').
En portant ces expressions dans les relations (6) celles-ci deviennent
fi.(P)f'(p 1 P') 4- x^J^i^{v\r) dûci = 4(P)^^-(P)-r',,(P)^;;(P)^-;{P)|/^(P)./:?/.
Multiplions maintenant les deux membres do cette équation par x^l (avec sommation par rapport à / devenu indice muet), nous obtiendrons, dans les mêmes conditions d'approximation,
Nous sommes donc conduits à poser
ce qui donne les formules de transformation cherchées.
Les fonctions F'^.^ ne sont par conséquent pas des composantes de tenseurs; elles n'en présentent le caractère que vis-à-vis de changements linéaires des variables; elles jouent le rôle, dans la théorie que nous étudions, des symboles de Ghristoffel de deuxième
espèce j .et leur loi de transformation exprimée par les
formules (8) correspond aux formules de Ghristoffel telles que nous les avons rencontrées dans le Chapitre II.
Si nous voulons maintenant déplacer un vecteur parallèlement d'un point P à un autre point P' non infiniment voisin le long d'un chemin déterminé, nous nous servirons, comme dans la méthode de M. Levi-Givita, d'un processus d'intégration basé sur l'emploi des formules (6) (2).
(') Les fonctions écrites dans h; crochet du second membre ont toutes leur valeur prise au point P.
(^) Nous savons alors que le fait d'avoir négligé dans les calculs les infiniment petits du second ordre se trouve régularisé par les intégrations.
