CHAPITRE VI. — LA GÉOMÉTRIE DE VVEYL

Nous pourrons alors répéter ce que nous avons dit dans le Chapitre précédent : en général, si les F',.^ sont quelconques, le résultat du déplacement parallèle de P en P' dépendra essentiellement du chemin intermédiaire, et en particulier si le point P revient à sa position de départ après avoir décrit un contour fermé, le vecteur ne reprendra pas sa position primitive.

Dans le cas où le contour G décrit est très petit, en répétant les raisonnements et les calculs de M. Pérès exposés dans le Chapitre précédent, nous obtiendrons les variations des coordonnées du vecteur sous la forme

^ ' Je

en introduisant le tenseur du quatrième ordre

( lO ) t .,.,-,. -j^ 4- 1 Î7.,. 1 .jx/ — -^. l [ri i .[J..V ,

analogue au tenseur de Riemann-ChristoU'el et satisfaisant comme lui aux conditions de symétrie

/ ) ^ .ris — * .rsn

Comme précédemment également, la nullité de ce tenseur en chaque point de la multiplicité exprimera les conditions nécessaires et suffisantes pour que le déplacement parallèle d'un vecteur soit indépendant du chemin parcouru par son origine.

Nous pourrons de même, à l'aide des coefficients F',.^, définir un processus de dérivation tensorielle, établir les équations différentielles des lignes géodésiques (caractérisées par la progression par déplacement parallèle de leur tangente) et enfin bâtir, en suivant toujours les calculs déjà faits, une théorie de la courbure.

Nous serons ainsi arrivés au stade de la multiplicité à connexion ajjine.

lOo. Détermination métrique et connexion métrique. — Introduisons maintenant en chaque point de la i>iultiplicité une forme quadratique gik dx^ dx^ (invariante par définition par rapport à tout changement de coordonnées) dont les coefficients ^'7a:( qu'on peu!, toujours supposer symétriques en i et k) seront des fonc-

I52 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQLES ET MÉCANIQUES.

lions continues des coordonnées du point considéré. Cette •forme, que nous ajipellerons la forme métrique brute^ nous servira, non pas comme c'était le cas dans les Chapitres antérieurs, à définir la longueur d'un vecteur, mais simplement à définir Vègalité des longueurs de deux vecteurs attachés au même point.

Nous dirons alors, avec M. Weyl, que la multiplicité porte en chaque point une détermination métrique.

Ceci posé, nous pourrons convenir d'appeler longueur du. vecteur de composantes E' le nombre l défini par l'équation

E étant un facteur arbitraire (facteur d'étalonnage), pouvant varier d'un point à un autre. Si nous fixons la valeur que nous attribuons à ce facteur en chaque point, nous dirons que la multiplicité est étalonnée.

Ce choix étant fait, nous pourrons poser

et la forme quadratique gikdx'- dx^ sera dite \a forme métrique étalonnée.

L'introduction de cette dernière forme nous permet maintenant de faire de la géométrie métrique sur les vecteurs tangents à la multiplicité en chacun de ses points (*), mais elle ne nous permet pas encore de comparer les longueurs de deux vecteurs d'origines (iilFé rentes (^).

jNous allons maintenant établir, sous le nom de connexion métrique^ une correspondance entre les vecteurs attachés à des points différents, correspondance entièrement analogue à la connexion affine mais portant seulement sur les longueurs des vecteurs indépendamment de leur orientation.

(1) Il est à remai-quer que l'iniroduction de la forme métrique brute seule permettrait les définitions angulaires en chaque point, comme nous les avon^ établies au Chapitre V. Ces définitions ne dépendent en effet que des rapports mutuels des coefficients gi/,-. La géométrie dans laquelle on n'aurait pas encore introduit la forme métrique étalonnée serait donc la géométrie conforme.

(^) Nous ne pouvons en ell'et pas prendre comme critérium de l'égalité des longueurs l'égalité des valeurs de / puisque celle-ci ne subsisterait pas avec un autre choix du facteur d'élalonnage E.