CHAPITRE VI. — LA GEOMETRIE DE WEYL. l
Nous déterminerons celte correspondance par les conditions suivantes :
a. Si un des vecteurs a une longueur nulle, le vecteur correspondant attaché à l'autre point devra aussi avoir une longueur nulle ;
b. Si un vecteur a une longueur égale à la somme des longueurs de deux autres (attachés au même point), la même relation devra exister entre les longueurs des vecteurs correspondants.
11 est évident qu'on réalise le type le plus général d'une tellecorrespondance en assujettissant les longueurs des vecteurs homologues à être proportionnelles.
iNous commencerons par considérer deux points voisins P et P' de la multiplicité, de coordonnées respectives x'- et x'- -\- dx\ et nous regarderons deux vecteurs correspondants comme provenant du même vecteur, déplace par con g laence ai! \xw^o\w\,k\ ?iW\xç,{^^^ .
Nous emploierons les mêmes notations que pour la connexion affine et nous pourrons toujours écrire la correspondance sous la forme
(i4) /(FlP') = /iP)
Nous soumettrons la fonction <Ï>(P, P') des deux points P et P' à la même condition de continuité que précédemment, condition qui se traduira par l'identité
Nous pourrons développer la fonction 4> au voisinage du point P (i6) 4>(P, V')-^^j{V)dxi^..,,
et la relation de connexion métrique, limitée aux termes du premier ordre, deviendra
(17) /(P1P')=/(P) ri-^cp,(P)^x'l (î).
(*) Ici encore il s'agit évidemment d'une simple convention de langage.
(') M. \N'eyl adopte comme définition de la longueur du vecteur la valeur de
la forme quadratique ^.nÇ'ç" eiie-mêmo et non sa racine carrée, comme nous le faisons ici. J'ai jugé préférable de m'en tenir aux notalions usuelles de la géométrie
l54 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRTQL'ES ET MÉCANIQUES.
Les fonctions cp/ sont les composantes de la connexion métricjue. Elles peuvent être prises arbitrairement dans un système de coordonnées et dans un étalonnage déterminés (').
Si l'on change le système de coordonnées seul, la relation précédente montre que la forme linéaire de différentielles ^tdx'^ reste invariante, et par suite que les '^i forment un système covariant du premier ordre.
Si l'on change au contraire l'étalonnage seul, en remplaçant le multiplicateur E par un autre
(i8) " E = aE,
la relation de connexion métrique prendra la forme
/(P|P ) et /(P) désignant les nouvelles mesures des longueurs
des vecteurs et cj/ les nouvelles composantes de la connexion. Mais, d'autre part, on aura
?2(p 1 p') = X(P') /2(P') = [x -+- ^. rfa;»'-t-...l /«(P'),
et
d'où, en portant ces expressions dans la relation précédente et en comparant avec l'équation (17),
106. La courbure segmentaire. — Enfin, par un processus d'intégration, nous définirons le déplacement par congruénce d'un
classique. Les calculs en sont du reste très peu affectés; on aura en effet, toujours au même ordre près,
C'est pour être d'accord avec les notations de M. Weyl que nous avons introduit
un coefficient - dans les formules précédentes.
(') M. Weyl réunit ces deux notions de système de coordonnées et d'étalonnage sous le nom unique de Bezugssystem que M. Juvet traduit par système de référence.
