CHAPITRE VI. — LA GEOMETRIE DE WEYL. l

vecleur d'un point quelconque à un autre point également quelconque le long d'un chemin déterminé.

En général, le résultat dépendra essentiellement du chemin intermédiaire et, en particulier, si le chemin est fermé, la longueur ne reprendra pas à l'arrivée la valeur qu'elle avait au départ.

Nous pourrons facilement, toujours en suivant les calculs de M. Pérès, étudier la variation de longueur du vecteur dans le cas où le contour C en question est ti'és petit. Indiquons rapidement les calculs, en conservant les notations du n" 99.

Nous supposons d'abord le vecteur déplacé par congruence le long d'un petit arc PoPi, la variation de sa longueur sera donnée par l'intégrale

S/ = /, — /() = / l^i dx^,

'*■ ^ Po Pi

Les quantités / et (Si qui figurent sous le signe d'intégration sont relatives à un point courant quelconque P, de coordonnées ^^, du chemin d'intégration et l'on aura par suite ( * )

ce qui peut encore s'écrire, en posant

^•^"^ -^'-'^â^^-Jx^

en admettant que le contour est fermé et après suppression de l'indice zéro

('21) ^^ = ^ ifik I X' dxl'^— x^' dxi

(au troisième ordre près),

et cette équation joue dans la connexion métrique un rôle analogue à celui de la relation (9) du n° lOi.

(^) On suppose que les coordonnées du point P„ sont nulles et que les coordonnées du point P restent, le long de l'arc PoP,, inférieures en valeur absolue à une quantité très petite e.

D'où

I )6 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES.

Cette dernière formule (ainsi du reste que la précédente) nous montre que les quantités fih forment un système covariant du second ordre, symétrique gauche. M. Weyl les regarde comme les composantes du tenseur de courbure segmentaire^ par analogie avec le tenseur V'risr tenseur de courbure vectorielle.

L'équation (20) montre du reste immédiatement que les fonctions/Îa^ sont indépendantes de l'étalonnage.

En particulier, la nullité en chaque point du tenseur de courbure segmentaire donne les conditions nécessaires et suffisantes pour que la longueur du vecteur déplacé par congruence soit indépendante du chemin parcouru par son origine. Dans ce cas, les fonctions 9, sont les dérivées partielles d'une fonction ^ et si l'on change d'étalonnage en donnant au rapport X la valeur e^, dans le nouvel étalonnage les fonctions cp^ sont nulles en tous les points de la multiplicité [d'après les formules (19)]. Cet étalonnage particulier est dit normal et l'on est alors dans le cas de l'espace riemannien tel que nous l'avons étudié dans le Chapitre précédent.

Ces considérations nous amènent (et du reste d'une façon complètement indépendante de la notion de connexion affine) au stade de la multiplicité à connexion métrique.

107. Fusipn de la connexion affine et de la connexion métrique. — Supposons que nous ayons maintenant une multiplicité douéo à la fois d'une connexion affine et d'une connexion métrique. Nous admettrons, et cette hypothèse paraîtra naturelle, que le déplacement parallèle doit réaliser en même temps le déplacement par congruence. Il est à prévoir que cette condition introduira entre les composantes des deux connexions certaines relations que nous allons établir.

Soit donc une multiplicité rapportée à un certain système de coordonnées et à un certain étalonnage et soit

la forme métrique étalonnée correspondante.

Donnons-nQus un vecteur attaché au point P, de composantes i' (P) ; par déplacement parallèle de P en P', ces composantes deviendront