CHAPITRE VI. — LA GÉ0M|':TRIE DE WEYL. ^by

La longueur du vecteur dans chacune de ses deux positions sera donnée par les formules

/2(I>|P'-)= :./^.(P')P^(P|P')ÇA(p|p').

Nous supposons maintenant que ces deux longueurs sont congruentes dans la connexion métrique, c'est-à-dire qu'il existe entre elles la relation

/(P|P')=/(P)ri- ^cp,(P)c^^^j

qui peut tout aussi bien s'écrire, toujours au même ordre d'approximation,

En explicitant cette équation et en j remplaçant les fonctiofi^ prises au point P' par leurs développements limités du premier ordre, elle devient

Or, cette relation doit être satisfaite quelles que soient d'une part les composantes ?' du vfecteur considéré et quel que soit d'autre part le déplacement dx^ qu'on lui impose; on en conclut donc les équations

d'où l'on tire facilement ( * )

^^^) ^"-'-= lié- è -^) - \ih.,.^hs,.-h..x

et enfin

( ' ), Il suffit de permuter deux fois circulairement les indices k, i, s et de retrancher la première des équations obtenues de là somme des deux dernières.

Les quantités grs^liki qu'on peut encore écrire T^n,, sont les analogues des symboles de Gliristoiïcl de première espèce ['/J.

l58 CALCUL THNSORIKL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.

On voit donc que la donnée des composantes de la connexion métrique entraîne celle des composantes de la connexion affine.

Enfin on vérifie immédiatement sur les formules que nous venons de trouver que les 1''^^ ainsi définis >>ont indépendants de Tétalonnage.

Nous sommes ainsi arrivés au stade définitif et nous donnerons à la multiplicité caractérisée par les difierentes notions que nous venons d'introduire le nom d'espace de l^Feyl.

108. Extension de la notion de tenseur'. — Dans un tel espace, il est alors commode d'étendre la notion de tenseur. INous regarderons encore comme des composantes de tenseurs tout système de fonctions qui, en plus des transformations de caractère tensorlel covariant, contrevariant ou mixte vis-à-vis d'un changement de variables se trouvent encore multipliées par X*^ dans un changement d'étalonnage. L'exposant e sera dit le poids du tenseur en question.

Par exemple les coefficients ^/a de la forme métrique étalonnée sont les composantes d'un tenseur de poids -f- i (').

109. Généralisation de la notion de déplacement parallèle. — Dans la géométrie de Wejl, on peut naturellement parler des composantes covariantes d'un vecteur en appliquant par définition les rèiiles d'abaissement de l'indice

11 est facile d'exprimer sur ces composantes les conditions du déplacement parallèle. D'après nos conventions, le déplacement par congruence d'un vecteur se fait d après la loi

11 esl naturel d'adopter une définition analogue j)our le IransporI

(') De nième, les coefficients »•'*'■ sont de poids — i. les corn posantes /',;. et l^'f,-,,

des tenseurs de courbure segmentaire et vectorielle sont de poids zéro. Au contraire.

le système lovariant des cotnposantes cp, de la connexion rnétiiqae ne lenUe pas

dans cette catégorie, puisque sa loi de transformation dans «in changement

d'étalonnage est donnée par les formules (19^).

Eddington emploie les expressions de in-tenscuret de co-lenseur suivant que le poids est nul ou non.