CHAPITRE M. — LA GÉOiMÉTRlE DE WEYL
d'un produit scalaire, si l'on veut pouvoir donner de ce transport une définition intrinsèque, indépendante à la fois du système de coordonnées et de Tétalonnage.
Le transport parallèle d'un vecteur de composantes covariantes ^i tlevra alors se faire d'après une loi telle que le produit scalaire r/Jj se transforme d'après la loi précédente, quel que soit le système r/ déplacé lui-même parallèlement du point P au point voisin P .
Un calcul immédial n(^us donnera alors les conditions de déplacement parallèle sous la forme
(7.5) ?,(P I P') - hiV) f I - cpx-^P) dj:^'] -^ r/A( »' ) h(P)dT^^.
On peut être surpris de trouver ici des formules plus compliquées que les formules (6) et d'N voir figurer les composantes cp^ de la connexion métrique.
En réalité, cela tient essentiellement au fait que les systèmes contrevariants que nous avons introduits jusqu'à présent comme composantes de vecteurs étaient esscnticUetnent de poids zéro. Au contraire les composantes covariantes, telles que nous venons de les définir au début de ce paragraphe sont de poids -\- i . Si on les ramenait au poids zéro, en les divisant par un invariant de poids I (par exemple par le carré de la longueur du vecteur), on aurait
et un calcul également simple donnerait pour les conditions de déplacement parallèle <lu système co variant S,- de poids zéro
formules entièrement analogues à celles (jue nous avons trouvées (ians l'espace riemannien.
Nous laisserons au lecteur le soin de véiifier, par des considérations du même genre, les conditions de déplacement parallèle plus générales suivantes qu'il serait du reste facile d'étendre à des systèmes tensoriels d'ordre quelconque.
i" Invariant de poids e
<:>-7) /(Pi ■'■)-/(P)ii — c'ç/,6/.-rO:
:>." Système contrevariant de poids e
l60 CALCUL TKNSOKIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.
3° Système covariant de poids e
(29) A,(P I P' j = Â,(P) (l - ecp/, dxk) -+- r?-,A Ax( P) 6;:r^- ( i).
On pourrait aussi déduire de ces considérations et de la notion de lignes géodésiques, comme nous l'avons fait au Chapitre 11, un processus de dérivation tensorielle au sens de Wejl, que nous représenterons symboliquement par la lettre W et dont nous donnons les formules pour les invariants et les systèmes du premier ordre de poids e ;
Mo) '' W,,A'= -— -hr'),.A>.+ eA'co,.,
W,Â,= ^-lA,.Ax-t-eA/cp,.
On étendrait sans peine ces formules à des systèmes d'un ordre quelconque.
Si, en particulier, nous les appliquons au système fondamental covariant ^7a, nous obtenons
Or, si nous nous reportons aux formules (22), symbolisant la fusion de la connexion métrique et de la connexion affine, nous en déduisons immédiatement que l'on a
('} Ces particularilés se trouvent déjà, sans que l'auteur les signale explicilement, dans l'Ouvrage de M. Weyl {Temps, Espace, Matière, traduction Juvet).
A la page 98, avant l'introduclion de la détermination métrique, M. Weyl définit le transport parallèle d'un système covariant du premier ordre "n, en partant de la condition
vérifiée quel que sôit le système conirevariant \' déplacé lui-ntème parallèlement. On arrive ainsi aux conditions (26) et évidemment ici il ne j>eut s'agir que de systèmes de poids zéro.
Au contraire, page 116, M. Weyl, sans expliciter du reste le calcul, donne une définition analogue en partant de la condition
qui s'applique aux invariants de poids i et conduit aux formules (55).
