CHAPITRE VI. — LA GÉOMÉTRIE DE WEYL. l6l

En reprenant le raisonnement du second Chapitre (n** 47), on voit qu'on a aussi

(3'i) W,.if=o, Wrg'^'^o

et nous retrouvons ici encore le théorème de Ricci : Dans la géométrie de Weyd^ comme dans ta géométrie de Riemann^ le tenseur métrique fondamental est stationnaire en tout point de C espace,

1-10. Étalonnage géodésique. Système de coordonnées géodésique. — Comme nous l'avons vu plus haut, il est en général impossible (à moins que l'espac'e ne soit riemannien) de disposer de l'étalonnage de telle sorte que les fonctions cp^ soient nulles en chaque point de la multiplicité. IVlais il est toujours possible d'après les formules (19), de choisir le rapport \ de passage d'un étalonnage à un autre de façon à annuler les fonctions ©/ eti un point déterminé de V espace. L'étalonnage remplissant cette condition sera dit géodésique au point considéré.

De même il est en général impossible (à moins que le tenseur F^^ris ne soit identiquement nul) de disposer dju système de coordonnées de façon à annuler les composantes V^rs cie If^ connexion affine en tout point de la multiplicité. Mais il est toujours possible, d'après les formules (8), de disposer du système de coordonnées de façon à annuler ces composantes en un point déterminé. Le système remplissant cette corulition sera dit géodésique au point conaidéré. Le passage l'un système x^ quelconque au système

géodésique x*- est donné, comme au n** 5i, par les formules de transformation

(33) ,. ar' = ( .»«■ )p -h a?*" ( T f,., )p'x'''x'<

Si. en un point déterminé, on fait choix à la fois d'un étalonnage géodésique et d'un système de coordonnées géodésique, les formules (22) montrent que l'on aura en ce point

(34) ?,= o et %=o.

iii. Courbure de direction. — Les liens que nous avons établis

APPEM.. — V. 11

l62 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANlOUES.

entre les composantes de la connexion affine et celles de la coanexion métrique entraînent une intéressante décomposition de la courbure vectorielle.

Prenons en effet un vecteur ^' et faisons décrire à son origine un petit contour fermé C et posons pour abréger l'écriture

Nous avons vu plus haut qu'après cette circulation ses composantes auront subi les accroissements

La longueur du vecteur aura subi elle aussi un accroissement ùl et l'on trouve immédiatement la formule

D'autre part, nous savons, d'après la formule (^i), que ol est lié aux composantes du tenseur de courbure segmentaire par la relation

En introduisant cette valeur de 5/ dans l'équation précédente, on obtient

et comme cette identité doit avoir lieu quel que soit le vecteur Ç' et quel que soit le tenseur symétrique gauche S*-, on en conclut entre Ff,..çf et les f se la relation

( 36) h- fst = - hk ^'frsi - }rk Fi,.

Nous pouvons alors poser

( '^7 ) gil^ F^;.,, = §irst — 7 gir Jst ,

et la relation précédente se traduit par le fait que les exprès-