CHAPITRE VT. — LA GÉOMÉTRIE DE WEYL. l
sions S'irst seront symétriques gauches, non seulement en s et t (ce qui était évident), mais encore en i et r (' ).
Il s'ensuit que l'accroissement ô^^ donné par la formule (35 j peut se décomposer en deux parties : la première, provenant de."^ termes ^'irst-^ correspond, comme dans le cas riemannien, unique>
ment à une variation dans la direction du vecteur, sans changement
I * de longueur (-) ; la deuxième, provenant du terme -girfst-, correspond (comme on le vérifie facilement) uniquement à un changement de longueur du vecteur, sans changement d'orientation. M. Wejl regarde les quantités ^'u-st comme les composantes du tenseur de courbure de direction (Richtungskriimmung). Il est du reste
possible de calculer ces composantes en fonction des gth et des Oi, nous renverrons sur ce point au Mémoire déjà cité de M. Wejl (^).
Remarque. — La plupart des auteurs, exposant la théorie de M. Wejl, parlent d'étalons matériels de longueur choisis eu chaquepoint et des modifications que peuvent subir ces étalons quand on les transporte d'un point à un autre.
Nous nous sommes systématiquement abstenus, jusqu'à présent, de cette façon de parler et il nous a paru plus clair de bâtir d'abord une théorie purement mathématique des multiplicités.
Plus tard, lorsqu'on voudra appliquer cette théorie à une étude de phénomènes physiques, il nous faudra faire appel, pour déterminer les fonctions gik et ©^ relatives à l'espace réel, aux propriétés
(1) Il est important de bien remarquer que les composantes entièrement covariantes
du tenseur de courbure vectorielle ne satisfont pas à toutes les conditions de symétrie du tenseur de Riemann-Cliristoft'el, mais bien seulement aux deux suivantes, qui sont des conséquences des formules (ri)
* iWf — * irti 1
De leur côté, les quantités ê^im ne satisfont pas à la condition de symétrie cyclique, en général.
(-) C'est une conséquence directe des symétries des rT,,..,-,.
( ■) Reine Jnfinitesimalgeometrie (M Z., p. 4'^^). — Fof/- également :.Galbrun.. Introduction à la théorie de la Relativité, p. 278.
l64 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.
des corps qu'il contient; et c'est d'après ces propriétés que l'on dira (avec peut-être une certaine part de convention) que l'espace est euclidien, riemannien ou que c'est un espace de Weyl. Cette étude, comme toute étude expérimetitale, ne pourra jamais être faite avec une rigueur absolue et nous avo'ns jugé préférable de ne pas mélanger cette question des erreurs d'observation à une théorie qui, dans ce Chapitre, est encore abstraite.
1 J2. La géométrie de M. Eddington. — Nous dirons seulement ici quelques mots d'une généralisation que M. Eddington a donnée de la notion de connexion métrique, renvoyant pour le développement de la théorie aux travaux du savant astronome (^).
Alors que, dans la théorie de M. Wejl, la variation du carré de la longueur d'un vecteur déplacé par congruence du point P au point P' est complètement indépendante de l'orientation de ce vecteur et ^'exprime par la formule
M. Eddington admet au contraire une connexion métrique dans laquelle cette variation dépendrait de tous les éléments du vecteur (c'est-ù-dire aussi bien de son orientation que de sa longueui;). La connexion métrique se iraduit alors par la formule
/«(P I P') - /«(P) = - A,A-,ÇfÇ'^- rf^'%
dans laquelle on peut toujours supposer les coefficients A/^j symétriques par rapport aux indices i et A\
Naturellement les considérations que nous avons exposées au n** 107, relatives à la fusion entre la connexion affine et la connexion métrique, devront être reprises ici; en tout cas, la nouvelle géométrie renferme beaucoup plus d'arbitraire que celle de M. Weyl, et ce sera seulement l'essai de son application aux théories physiques qui décidera si elle doit lui être préférée.
(>) Voir en particulier l'Ouvrage de M. Eddington : The mathematical Tlieory of Relativity, Cambridge, 1928, p. 2i3; ainsi que le Mémoire suivant du même auteur : A généralisation of Weyl's Theory of the Electromagnetic and Gravitational Fields {Proc, Boy. Soc, A, 99, 1921, p. 104 ).
