II. — LES TRAVAUX DE M. GARTAN
Nous n'avons pas l'intention d'étudier à fond dans ce Chapitre les travaux de M. Cartan, relatifs aux sujets que nous traitons. Ces travaux dépassent en effet de beaucoup le cadre de nos actuelles préoccupations et sont du reste encore en cours dç publication (^).
Nous tenons cependant à en souligner ici l'importance profonde et à en dire tout au moins quelques mots qui éclaireront un point particulier de la théorie de M. Wejl. Nous conserverons naturellement les notations dont nous nous sommes servis jusqu'ici, bien qu'elles soient différentes (dans la forme tout au moins) de celles de M. Cartan. .
113. Critique de la condition de commutativité. Les espaces à torsion. — Dans l'étiide que nous avons faite des variétés à connexion affine, nous avons suivi l'exposé qu'en a donné M. Wejl dans- son Mémoire déjà cité : Reirie Infinitesimalgeonietrie^ et nous avons en particulier puisé dans ce travail la loi de commutativité qui nous a conduits à la symétrie des composantes de la connexion aflîne. Dans son livre fondamental, Baum^ Zeit^ MateriCy M. Wejd suit un chemin différent. Il admet, comme postulat, a la base de la notion de connexion affine, l'existence d'un système de coordonnées géodésique en un point P, système défini par le fait que le déplacement parallèle d'un vecteur du point P à un point voisin P' se traduit par la conservation de la valeur de ses composantes contrevariantes. 11 est très facile de voir que ce postulat de l'existence d'un système géodésique en chaque point de la multiplicité (-) entraîne la symétrie des r^;-^ relativement aux indices /^ et s.
Soit en efïet x'' le système géodésique en P (existant par hypo-
(') Les bases s'en trouvent dans m ne série de notes successives aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences : 1922. i" sem., t. 174, p. 4^7, ôg'i, 734, 867, iio4; ces notes ont été développées dans le Mémoire suivant : Sur les variétés à connexion affine et la théorie delà Relativité généralisée {Ann. Éc. Norm.y 1928, t. XL, p. 325, et 1924, t. XLI, p. i).
(^) Naturellement, le système géodésique n'est géodésique que pour le point auquel il correspond, mais on suppose qu'à chaque point est attaché un tel système.
l66 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES.
thèse), considérons un point voisin P', de coordonnéçs x'- + dx'-^ le déplacement parallèle d'un vecteur de P en P' est alors caractérisé par les équations
lnP|P')-ï'(l'i-
Mais d'autre part si nous passons de ce système géodésique à un autre quelconque x^^ nous aurons
T'"(P) = xKP)^''(P), "F^-(P|P')=^'-(P')e'"(P|P')= [^î-fP) -+-<,( P)^^-^- -4-... 1?'-(P|P').
D'où, en portant dans les relations précédentes et en ne tenant compte que des termes du premier ordre^
xi Ç'- ( P 1 P' ) = X', ?'•( p i — '^'rs Ç'' ( P ) dx'y
ce qui devient, en multipliant les deux membres par x'i (avec sommation par rapport à /),
'^i^{V\V')='^f^{V)~x[,x'l\>-{P)dx».
Nous sommes donc conduits à poser
formule qui met bien en évidence la symétrie en question.
Les conditions posées par M. Weyl dans ses travaux : existence d'un système géodésique en un point et loi de commutativité sont donc entièrement équivalentes (* ).
Or, comme le fait remarquer M. Cartan au début de son Mémoire des Annales de P Ecole Normale^ on ne voit pas très bien la nécessité logique de l'existence d'un système géodésique et l'on peut en dire autant de la loi de commutativité.
Montrons donc, d'après les idées de M. Cartan, comment s'introduit cette loi de symétrie et quelle est sa signification précise.
Supposons définie, comme nous l'avons fait au n"* 104, la notion de connexion affine entre les multiplicités tangentes en deux points voisins P et P' par les formules
Ç'(P I P') = Ç''(P) " P!/.(P ) ?n;P) dx^.
(') Nous avons vu en effet, au n° 110, que la loi de commutativité entraîne Texistence d'un système géodésique en un point déterminé.
