CHAPITRE VI. — LA GÉOMÉTRIE DE WEYL

les coefficients F',., n'étant assujettis pour le moment à aucune condition de symétrie. Ces relations permettent le repérage^ l'un par rapport à l'autre, des espaces affins tangents aux points P cfP'.

11 est en effet naturel de prendre pour coordonnées relatives du point P' par rapport au point P les différences dx^ des coordonnées de ces deux points ('). Supposons maintenant un troisième point P", repéré par rapport au point P^^et de coordonnées relatives ô^' par rapport à ce point. Pour le repérer par rapport au point P, nous transporterons par déplacement parallèle le vecteur (P' P') de P' en P et nous ajouterons les composantes du vecteur déplacé aux coordonnées relatives dx^ du point P'. (Ce sont au fond lés opérations que l'on fait pour effectuer les changements d'axes de coordonnées en géométrie classique.)

En procédant ainsi de proche en proche, nous pourrons repérer un point quelconque de la multiplicité et lui donner des coordonnées relatives par rapport à un point fixe pris comme point initial. Naturellement, ce repérage dépendra en général des points intermédiaires, c'est-à-dire du chemin choisi pour joindre les deux points.

Il est facile d'établir les formules donnant ces coordonnées relatives^ dans le cas où le point que l'on veut repérer reste dans l'entourage immédiat du point initial.

Considérons en effet deux. points Pq et P| de la multiplicité, reliés par un certain arc de courbe ; nous supposerons que les coordonnées du point Py sont nulles et que le long de l'arc en question les valeurs absolues des coordonnées restent inférieures à un nombre fixe très petit s. Nous nous proposons de repérer le point Pq par rapport au point P«. Pour cela, soit P un point quelconque de l'arc Pq P| de coordonnées :r', supposons que nous ayons repéré Pq par rapport à P et soient a' les coordonnées relatives que nous avons été amenés à lui donner. Passons du point P à un point très voisin P' de coordonnées x'^ + dx' et soient a' -f- <ia' les coordonnées relatives dePo par rapport à P'. Nous obtiendrons

(') M. Cartan prend d'une façon plus générale pour coordonnées de P' par rapport à P des combinaisons linéaires et homogènes des dx\ cela ne modifie pas essentiellement ce que nous avons à dire.

l68 CALCUL TENSORIEL. APPLICATIONS GÉOMKTRIQUES ET MÉCANIQUES.

ces dernières en transportant par déplacement parallèle le vecteur de composantes n! de P en P' et en ajoutant aux composantes du vecteur ainsi déplacé les coordonnées relatives — dx^ de P par rapport à P' ; ceci nous conduira aux équations

dy.i

dx^ — l^!/.f «'' dx^ .

On en déduit de suite pour les coordonnées relatives de P„ par rapport à P|

(39) (aOn) = — f dx^— f Ti,,W dx-\

PoPi

Ces relations sont des équations inté^ales d'où nous allons tirer approximativement la valeur des (a')(,) en tenant compte du fait que l'arc Pq Pj est très petit.

Sods le signe d'intégration, les quantités T'rs et' à'" sont prises au point courant P, on aura donc en les développant au voisinage de Po

*■ .is — K'- .rs }

(en tenant compte naturellement de la relation (38) et du fait que les a' s'annulent évidemment en Pq).

On a alors

Supposons maintenant le contour fermé et Pi coïncidant avec Pq, nous aurons (aux infiniment petits du troisième ordre près)

x'^ dx%

ce qui peut encore s'écrire, comme nous l'avons déjà fait souvent,

(4o) (3t)';n= ^ [r.V,- r^,.](0) f X'dx^—X-'dx'\

Ces formules définissent ainsi le repérage du point P© par rapport à lui-même lorsqu'on prend comme intermédiaires une série de points échelonnés sur le contour G.