CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES. J

prise de A en B le long de cette courbe. Cherchons ce que doivent rire les fonctions P, Q, R de x, y, z pour que la valeur de cette intégrale I dépende seulement des positions des points A et B et

non de la courbe G. Pour cela, déformons cette courbe d'une manière continue, en conservant les extrémités A et B fixes, de façon que, pendant la déformation, elle ne rencontre aucun point où les fonctions P, Q, R ou leurs dérivées soient discontinues; désignons par Gj la courbe ainsi déformée. Nous devons avoir, quelles que soient les courbes G et C1 ,

/ Ktds— I Ktds.

«AcB -^AC,0

ou, en intervertissant les limites de la deuxième intégrale et chan géant son signe,

Kt cl s = 0,

ACBCtA

l'intégration étant faite sur le contour fermé ACBG< A. Ce contour fermé est une ligne quelconque L tracée dans le champ de vecteurs; la question à résoudre revient donc à celle-ci :

Que doivent être les fonctions P, Q, R pour que l'intégrale

P dx -+- Q dy + R&,

prise le long d' une courbe fermée quelconque L, soit nulle

Pour cela, il faut et il suffit, d'après le théorème de Stokes que l'intégrale double

"/jC['(S-S)H*

étendue à uneaire S quelconque, soit nulle. Or, cette condition III. 2

exige que, sous le signe d'intégration, les coefficients de a, (3, y soient nuls. Fn eiiet, si, par exemple, — - n était pas identiquement nul, on pourrait prendre pour surface S une aire plane parallèle au plan des yz, assez petite pour que - — ait un

signe constant sur cette aire. On aurait alors a= i, P= y = o et l'intégrale J ayant tous ses éléments de même signe ne serait pas nulle. Donc, il faut et il suffit que

dR dQ OP __ dR __ dQ __ dP

<)y dz ' dz Ox dx Oy

c'est-à-dire que le tourbillon soit nul, ou encore que l'expression

Vdx+Qdy+R dz

soit une différentielle totale exacte d'une fonction U(x, y, z). S'il en est ainsi, l'intégrale 1 a pour valeur la différence des valeurs de U aux deux points A et B.

On retrouve de cette façon les propositions démontrées par une autre voie au sujet du travail (Ghap. IV).

545. Deuxième application. — Nous venons de trouver les conditions pour qu'une intégrale de ligne ne dépende que des extrémités de la ligne d'intégration et non de cette ligne ellemême, et nous avons, en supposant ces conditions remplies, exprimé cette intégrale en fonction des extrémités de la ligne.

Nous allons chercher de même la condition pour qu'une intégrale de surface ne dépende que du contour L limitant cette surface; puis, en supposant celte condition remplie, nous exprimerons l'intégrale de surface en fonction du contour.

Soit un champ de vecteurs W défini par les projections F, G, H •du vecteur W sur les axes. F, G, H sont des fonctions de x, y, z comme plus haut. Soit un contour quelconque L : faisons passer par ce contour une surface continue quelconque S limitée au contour, et considérons l'intégrale de surface

1= C A-«F-t-p6 + YH)rf«y= f

W„ dz

étendue à l'aire S. La signification de cette intégrale a été donnée précédemment : I est le flux de vecteur à travers la surface S.