CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES

Quand on fait varier S d'une manière continue en assujettissant cette surface à être toujours limitée au même contour L, l'intégrale I change en général de valeur.

Cherchons quelle condition doivent remplir F, G, II pour que l'intégrale I dépende uniquement du contour L et non de la surface S.

Pour cela {fi g- s83) déformons d'une manière continue la surface S passant par le contour L, en conservant le même sens pour les normales et en supposant que dans cette déformation elle ne franchisse aucun point où F, G, H et leurs dérivées premières

Fi g. 283.

cessent d'être finies; nous transformons ainsi la surface S en une antre surface S, pour laquelle le sens positif des normales est

MfN, (a,, (3,, y,) et l'élément superficiel c/a-, . On devra avoir

r^(«F+ pG + '7H)rfcr— /* f (aiF-h p1G-4-71H>«&rI=o.

L'ensemble des deux surfaces S et S, limite un volume V : la normale MIN (a, [3, y) est extérieure à ce volume, la normale M< N, est intérieure ; si en M, on mène la normale extérieure M, N;, ses cosinus directeurs sont

a'= — ai, P'=. — Pi, Y' = — Yi»

et l'équation s'écrit

Tf (aF + pG + fH)*-*- /,[(a'F + p'G + -;'H)è1 = o.

ce qui veut dire que l'intégrale

ff (aF+pG + YH)^

étendue à la surface totale S + S, , limitant le volume V, doit être

nulle. Mais le contour L étant quelconque ainsi que les surfaces S et S1? la surface S -f- S, est arbitraire. La question à résoudre revient donc à celle-ci : Que doivent être les fonctions F, G, H pour que l'intégrale

(aF-t- pG-î-YH)rf<7

étendue à une surface fermée quelconque soit nulle, c'està-dire pour que le flux à travers une sur/ace fermée quelconque soit nul?

D'après la formule de Green (n° 534), il faut et il suffit pour cela que l'intégrale triple

fil

dx dy dz /

étendue à un volume quelconque soit nulle : donc, il faut et il suffît que l'on ait identiquement

dx dy dz

c'est-à-dire que la divergence du vecteur F, G, H soit nulle.

Telle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une intégrale de surface ne dépende que du contour.

Cette condition étant remplie, l'intégrale

(aF+ JG + yH)rfî

doit pouvoir être évaluée dès qu'on connaît le contour L de la surface d'intégration S. Pour résoudre cette dernière question, nous démontrerons la proposition d'Analyse suivante :

Si trois fonctions F, G, H, de x, y, z, vérifient la condition (i i), on peut toujours trouver trois autres fonctions P, Q, R telles que

dy dz ' '

< SI - àx~ = G>

^2 - ^ == H dx dy