CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES. l

grale est donc le flux du tourbillon W à travers la surface S. La formule de Stokes

fKtds= f r

Wnd3

peut alors s'énoncer ainsi :

Le travail d'un vecteur agissant sur un point qui décrit un contour fermé est égal au flux du tourbillon de ce vecteur à travers une surface continue limitée à ce contour.

Cet énoncé montre que le vecteur tourbillon d'un vecteur donné a une signification géométrique indépendante du choix des axes. On peut remarquer que la divergence du vecteur tourbillon est nulle; en effet, d'après les valeurs de W^, Wr, Wz, on a identiquement

dWx d\\\ , <?WZ dx dy dz

Il en résulte que le flux du tourbillon à travers une surface fermée, située dans le champ, est nul.

542. Cas particuliers. — Dans ce qui précède, le vecteur K de projections P, Q, R est quelconque. Voici deux cas particuliers importants :

i° Pour que P dx -- Q dy -f- R dz admette un facteur intégrant, il faut et il suffit que le tourbillon du vecteur R soit, en chaque point, perpendiculaire à ce vecteur.

En effet, appelons -r ce facteur intégrant; si l'on a

j ( P dx -h Q dy -h R dz) — do,

on obtient pour les projections du tourbillon

ty ^? à<\> do dty do d<\> do

dy dz dz dy } dz dx dx dz

dty do dty do dx dy dy dx

l6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

D'où l'on déduit immédiatement

(10) PW^+ QWy-r- R\VZ= o,

ce qui démontre que le tourbillon est perpendiculaire au vecteur.

Réciproquement, on démontre en Analyse que, si cette condition de perpendicularité (10) est remplie identiquement, l'expression P dx -\- Qrf^ + R dz admet un facteur intégrant.

En employant une façon de parler définie plus haut, on a ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur K soit doublement scalaire.

2° Pour que P dx H- Q <^>' -r-Rûfc soit une différentielle totale exacte, il faut et il suffit que le tourbillon soit identiquement nul.

En effet, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il en soit ainsi sont précisément

dK àQ OP dR dQ dP

dy dz dz dx dx dy

543. Invariants. — Dans ce qui précède, nous avons été conduits à déduire d'un champ de vecteurs, soit des fonctions de point, soit d'autres vecteurs qui ont des significations indépendantes du choix des axes et qui sont, par suite, des invariants pour un changement d'axes quelconque.

Ainsi, pour un vecteur K de projections P, Q, R, la divergence

dP dQ <m

dx dy dz

est une fonction de point indépendante du choix des axes, le tourbillon est un deuxième vecteur indépendant du choix des axes, le tourbillon du tourbillon en serait un autre, etc.

M. Heinrich Burckhardt a résolu le problème général de déterminer ainsi toutes les fonctions d'un ou de plusieurs vecteurs qui sont des fonctions de points ou qui peuvent servir à définir de nouveaux vecteurs {Nachrichten der Kôniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen; 1893).

544. Première*application. — Soient A et B deux points quelconques du champ de vecteurs {fig. 282) : joignons-les par une courbe G et considérons l'intégrale

-f P dx^Qdy^-Rdz = f Ktds,