CHAPITRE XXVIII. — INTÉGRALES DE VOLUMES

En d'autres termes, le vecteur F, G, H peut toujours être regardé (et cela dune infinité de façons) comme le tourbillon d' un autre vecteur P, Q, R.

Pour le montrer, cherchons d'abord une solution particulière P<, Q{, R, des équations (12). On peut prendre R, = o, puis pour vérifier la deuxième équation

Pi= / G(a?, y, z)dx

où z0 est une constante. La première équation donne alors

d-^=-F(x,y,z); la fonction la plus générale Qt vérifiant cette relation est Qi = — / F(^JK, z) dz-±-o(x,y),

a étant une fonction arbitraire de x et y.

Eu portant ces valeurs de P< et Q, dans la troisième équation on a

rzfd¥ àG\ . do

D'après l'identité (n), supposée remplie, la quantité sous le signe 1 est j-dz, on a donc

do

d'où

do

On pourra, par une quadrature, déterminer une fonction <p vérifiant cette dernière équation

Nous avons ainsi déterminé trois fonctions particulières P, , Q,, R , telles que

^ ^Qi F

ây dz - '

<?Pj dRt =

^Si ^J = h

Pour avoir les fonctions P, Q, R les plus générales vérifiant les équations (12), il suffit de remarquer que Ton a, par soustraction,

()(R-R,) d(Q — QO

dy dz

ç)(P-Pt) ^(R-Ri)

dz dx

rf(Q-Qi) (?(P-PQ

dx dy

ces conditions expriment que P — Pt , Q — Qi , R — R| sont les dérivées partielles d'une fonction U(#,y, z)\ on a donc