fp Jft (l-h SX) (l-{- tx) ùi

dx C °° x2 dx

(3-,) (l-M-t) f ~~-st f

devant déterminer s et t en fonction de o> et p. Une fois s et t connus, les axes de l'ellipsoïde sont déterminés par la condition que la masse totale M

de l'ellipsoïde -T.abcp a une valeur donnée M. On a ainsi, en vertu des

relations (3o),

(33) |tcc»p = Mv/Ï*, ^ira3p = M^--, |tc6»p = M^.

On voit immédiatement sur l'équation (32) que î+f<ij sans quoi les deux parties du premier membre seraient négatives et leur somme ne pourrait pas être nulle. Gomme s et t sont positifs, on a donc

s < 1 et t < i , et, par suite,

l'axe autour duquel tourne l'ellipsoïde est donc le plus petit des axes.

Voici maintenant comment on détermine s et t par les équations (3i) et (32).

Tout d'abord, l'équation (32) établit une relation entre s et t : on

démontre que, la valeur de t étant choisie arbitrairement entre o et 1,

cette équation donne toujours une valeur de s et une seule comprise entre

ces limites. Quand t croît de o à 1, cette valeur de s décroît de 1 à o : il

existe donc un nombre x tel que, t étant pris égal à t, s soit aussi égal

à t. Ce nombre est

Passons maintenant à l'équation (3i) : si l'on pose

V = st f -

cette quantité U peut être regardée comme fonction de la seule variable indépendante t, la variable s étant liée à t par la relation (32).

Gomme s et t sont positifs, cette fonction est positive : elle est nulle pour t = o, et elle redevient nulle pour t = i, car alors s = o.

Donc t variant de o à i, cette fonction U a au moins un maximum. On démontre que ce maximum est unique, qu il a lieu pour t = t et que sa valeur est Ui= 0,187.... D'après cela, pour qu'il existe des valeurs de t vérifiant l'équation (3i), il faut et il suffit que

L'équation (3i) est alors vérifiée par deux, valeurs de £, l'une t' <C t, et l'autre *"> x : soient s' et s" les valeurs correspondantes de s. Les équations (3i) et (32) étant symétriques en s et t, si s = s', t = t' constitue une solution, s = t\ t ='s' en constituera une autre : on a donc

et il n'y a en définitive qu'un ellipsoïde répondant à la question, car échanger s et t, c'est échanger les axes a et b. Dans le cas de

l'ellipsoïde de Jacobi est de révolution.

En particulier, si w est nul, l'équation (3i) donne st = o, donc une des deux quantités s ou t est nulle et l'autre égale à 1. Si w est très petit, une de ces quantités, t par exemple, est très petite et l'autre s très voisine de 1. Les formules (33), donnant les axes, montrent que c et a sont très petits et ont un rapport voisin de 1, b très grand.

L'ellipsoïde à trois axes inégaux affecte alors la forme d'une aiguille très mince, très longue et à peu près ronde qui tourne autour d'un axe perpendiculaire à sa direction.

Troisième cas : Cylindre elliptique homo gène et indéfini. • — Une masse fluide homogène tournant avec la vitesse w autour de O^ peut encore être en équilibre relatif sous la forme d'un cylindre elliptique indéfini dont la surface a pour équation

Ce cas peut être considéré comme limite de l'ellipsoïde à trois axes inégaux du numéro précédent, quand on fait croître c au delà de toute limite, ainsi que la masse totale M. En effet, l'équation de l'ellipsoïde se réduit à celle du cylindre pour c — ce. Les valeurs (26) de P et Q deviennent alors, en remarquant que

- tend vers 1 quand c augmente indéfiniment,

?=<mabf9 / -3- s ^4«/p— ,

Q = zr.abfp / — 3 ~l=^f?W

enfin R devient nul.

Les surfaces de niveau (27) deviennent

(w2 — P)^2+ O2— Q)JK2= const.,

et, en écrivant que la surface du cylindre (34) est une des surfaces de niveau, on a la condition unique

déterminant le rapport des axes a et 6.

Discussion. — Si l'on remplace P et Q par leurs valeurs (35), on a, en résolvant par rapport à a>2 et supprimant le facteur a — b,

w2 4 ab

Ti/p {a-i-b)*'

cette équation du deuxième degré en - donne pour ce rapport deux

valeurs réelles, inverses l'une de l'autre, à condition que

w2 1 2Tc/p = 2

Ces deux racines donnent la même forme de cylindre, car le cylindre elliptique reste le même quand on permute a et b.

Remarque. — La condition (36) est identiquement satisfaite par a = &, quel que soit to. Il semble donc que le cylindre circulaire indéfini soit une figure d'équilibre possible pour toutes les vitesses angulaires de rotation.

Mais il est facile de vérifier que, si a>2 est supérieur à iTzfp, la résultante de la force attractive et de la force centrifuge qui est, en un point

de la surface libre du cylindre, normale à cette surface, est dirigée vers l'extérieur. Les molécules de la surface libre seraient donc alors projetées vers l'extérieur, si une pression extérieure suffisamment grande ne les en empêchait pas. Gela résulte de ce que, en appelant a le rayon de la surface cylindrique de révolution, la force attractive en un point de cette surface est dirigée vers l'axe et égale à infpa et la force centrifuge est dirigée vers l'extérieur et égale à co2« : cette dernière l'emporte donc, dès que w2 est supérieur à infp. Ce fait a été généralisé par M. Poincaré, comme nous le montrerons dans le numéro suivant.

Résumé des trois cas. — En résumé, on peut établir le Tableau ci-dessous qui donne les figures ellipsoïdales d'équilibre relatif possibles, suivant les diverses valeurs de la vitesse w.

Pour une masse limitée donnée :

ÏTzfp

to2

aucun ellipsoïde, de révolution ou non

< 0,224. . • deux ellipsoïdes de révolution,

[ deux ellipsoïdes de révolution et un el-

271/ p ( lipsoide a trois axes inégaux.

Pour une masse illimitée :

o,5 < — < 1 un cylindre circulaire indéfini,

to2

<<o,5... un cylindre circulaire et un cylindre elliptique.

ITzfp

641. Théorème de M. Poincaré. — Imaginons une masse fluide homogène de densité p, animée d'une rotation uniforme autour de Oz et soumise à une pression extérieure constante. D'après ce qui précède, aucune des figures ellipsoïdales d'équilibre ne peut exister pour une

masse limitée, si ^—> 0,224 et, pour une masse illimitée si cette

quantité est plus grande que 1.

M. Poincaré a établi (Bulletin astronomique, t. II, p. 117) que l'équilibre relatif est impossible pour une masse limitée, quelle que soit la

. ,2 forme que l'on donne à cette masse, dès que ^— >> 1. Pour cela, il

montre que, l'équilibre relatif étant supposé établi, la résultante des forces d'attraction et de la force centrifuge, qui doit être, en chaque point de la surface libre, normale à cette surface, serait, en certains points de cette surface, dirigée non vers l'intérieur, mais vers l'extérieur de la masse

fluide, de sorte que le fluide y serait projeté au dehors, à moins qu'une pression normale suffisante ne s'opposât à ce mouvement.

Le théorème subsiste dans le cas où la masse est soumise, en outre, à des attractions newtoniennes émanant de masses extérieures au fluide et entraînées dans le mouvement de rotation.

Imaginons donc une masse fluide homogène de densité p tournant autour de O-s et ayant une certaine figure d'équilibre relatif; soient, comme précédemment, Ox et Oy deux axes entraînés par le fluide. Désignons parW

le potentiel \ — de la masse fluide en un point x, y, z de son intérieur

ou de sa surface; par W le potentiel des masses extérieures au fluide au même point. La force newtonienne appliquée à l'unité de masse en un point intérieur x, y, z a. pour projections sur les axes

fàW , fàW fàW f àW ' dW fàW.

J ~dx mT~ ^ dx ' à y *~ ày ' dz * dz ' .

la force centrifuge a pour projections

Si, donc, on pose

la force rapportée à l'unité de masse, agissant en un point du fluide, dérive de la fonction U. La surface libre est une surface de niveau U = const.; la force appliquée à l'unité de masse placée sur la surface libre S est normale à cette surface et a pour valeur algébrique estimée suivant la

normale extérieure -y— t la dérivée étant prise suivant la normale extean

rieure.

Ceci posé, appliquons à la fonction U la formule (4) du n° 538, qui est un cas particulier de la formule de Green, en prenant pour volume d'intégration le volume fluide V et pour surface la surface libre S. Nous aurons

ffl»-fl2*-

Mais on a

AW=— 47rp, AW'=o,

d'après les formules de Poisson et de Laplace (n°8 579-581), et

comme on le vérifie immédiatement.

L'équation précédente devient donc

//jf(."?-4«/P>.*-/j££*