CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

ou, en faisant sortir la constante 2w2 — 4TC/p du signe d'intégration et remarquant que la somme des éléments a\ est le volume V du fluide,

T<».-»,r/p) = /jfS«fa.

Si o>2 était supérieur à iitfp, l'intégrale du deuxième membre serait positive, donc —p serait positif en certains points de la surface S et la force serait, en ces points, dirigée vers l'extérieur.

642. Indications historiques et bibliographiques ; recherches de M. Poincaré. — Le problème de la recherche des figures d'équilibre possibles pour une masse fluide homogène dont les particules s'attirent suivant la loi de Newton et qui est animée d'une rotation uniforme, a donné lieu à d'importants travaux de M. Poincaré.

L'ellipsoïde de Mac-Laurin et l'ellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi furent longtemps les seules solutions connues; mais les conditions de stabilité de l'équilibre n'avaient pas été étudiées. M. Mathiessen et Sir W. Thomson (*) démontrèrent l'existence de figures annulaires d'équilibre, mais leur démonstration n'est pas parfaitement rigoureuse : M. Mathiessen supposait, a priori, que la section de l'anneau différait peu d'une ellipse; M. Poincaré a montré {Comptes rendus, 26 avril 1886) que cette hypothèse est légitime seulement quand la section de l'anneau est très petite. Il a fait une étude approfondie de ces figures et montré, en employant une méthode indiquée par Mme Kowaleski dans son Mémoire : Sur l'anneau de Saturne (Astronomische Nachrichten, t. CXf ; i885), comment on peut en déterminer les principaux éléments avec une approximation indéfinie; ces figures sont d'ailleurs instables (voyez Bulletin astronomique, t. II, mars et septembre i885).

Dans un autre Mémoire (Acta mathematica, t. VII; i885), M. Poincaré a montré que les diverses figures d'équilibre possible forment des séries linéaires : dans une même série, ces figures dépendent d'un paramètre variable. Telles sont la série des ellipsoïdes de révolution et celle des ellipsoïdes de Jacobi. Il peut arriver qu'une même figure appartienne à la fois à deux séries différentes : c'est ce que M. Poincaré appelle une figure de bifurcation.

M. Poincaré trouve ainsi d'autres formes d'équilibre que les ellipsoïdes et les anneaux; ces figures nouvelles sont en nombre infini, elles sont convexes et ont toutes au moins un plan de symétrie.

M. Poincaré étudie ensuite la stabilité de l'équilibre et il trouve, en particulier, le résultat suivant : si, en suivant une série de figures d'équilibre, on ne rencontre que des figures stables jusqu'à la figure de bifur-

(l ) Treatise on natural Philosophy, t. II, p. 829.

cation, on n'y trouvera plus ensuite que des figures instables; les figures stables appartiendront à l'autre série.

(Voyez, pour des indications plus détaillées, la Notice sur les travaux scientifiques, de M. Poincaré; Gauthier-Villars, 1886, et le Tome II de la Mécanique céleste, de Tisserand.)

Signalons enfin un Travail de M. Duhem : Sur la stabilité de l'équilibre d'une masse fluide dont les éléments sont soumis à leurs actions mutuelles (Journal de Mathématiques, 5e série, t. III; 1897).