III. - ETUDE PARTICULIERE DE L'EQUILIBRE DES FLUIDES PESANTS

Dans ce paragraphe et dans le suivant, nous nous occuperons de l'équilibre isotherme des fluides pesants, pris dans une étendue assez petite pour que l'intensité de la pesanteur puisse être regardée comme constante et la direction de la verticale comme invariable dans toute la masse.

Dans cette hypothèse, en prenant un axe vertical O z dirigé vers le bas, l'équation unique d'équilibre est

dp = pg- dz, où g est constant.

Nous nous occuperons d'abord des pressions exercées par un

gaz ou un liquide sur les corps solides en contact avec lui, puis de

l'équilibre des corps flottants.

643. Gaz en équilibre isotherme. — Supposons un gaz à température constante, placé dans une enveloppe assez petite pour que p soit sensiblement constant. En appelant p0 Ja pression à l'origine, supposée située dans la masse gazeuse, on aura

P =Po+p£--

Comme p est ordinairement très petit, nous nous placerons dans

le cas, presque toujours réalisé dans la pratique, où la pression p0

est assez grande pour que le terme ogz soit négligeable devant p0.

C'est ce qui arrive, par exemple, pour une chaudière à vapeur.

On a alors

P =Po',

la pression peut être regardée comme constante dans toute l'étendue de la masse.

Pressions du gaz sur une surface fermée. — Si l'on plonge un corps solide dans le gaz, chaque élément superficiel d<j supporte une pression normale p0 d? : d'après le principe d'Archimède, la résultante de ces pressions est égale et opposée au poids du fluide déplacé, mais comme nous négligeons pgz, ce poids est nul, et les pressions normales pQdi se font équilibre.

Le même fait a lieu pour l'ensemble des pressions exercées par le gaz sur l'enveloppe fermée qui le contient

Pression du gaz sur une paroi plane. — Soit une paroi plane sur laquelle nous considérons une aire déterminée S.

Les pressions p$d<i s'exerçant sur les éléments d? de S étant normales à la paroi sont des forces parallèles, de même sens, proportionnelles aux éléments superficiels. Elles ont donc une résultante unique normale à la paroi, égale à la somme />0S des composantes et appliquée au centre de gravité de l'aire S.

Pressions du gaz sur une paroi courbe. t — Soit C une portion de paroi courbe : sur chaque élément d? de C s'exerce une pression normale p0d<j; ces forces élémentaires appliquées au corps solide G se réduisent en général à une force et à un couple.

On calculera facilement, par des intégrales doubles étendues à l'aire courbe C, les sommes des projections des pressions élémentaires sur les trois axes de coordonnées et les sommes de leurs moments par rapport aux trois axes. Nous nous bornerons à donner une méthode géométrique que nous empruntons à l'Ouvrage de M. Poincaré, Cinématique et Mécanismes, ..., cours professé à la Faculté des Sciences (Carré et Naud ; 1899).

Projections. — Pour calculer la somme X des projections des pressions sur une droite D {fig. 3oy), construisons une surface

Fig. 3oq.

cylindrique ayant ses génératrices parallèles à D et passant par le

contour de la surface courbe C : puis menons une section droite

AB de ce cylindre, et appelons S l'aire de cette section. La surface